نگاشت تحلیلی (Evaluation Map)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :
نگاشت تحلیلی (Evaluation Map) :
در ریاضیات، نگاشت تحلیلی (evaluation map) یک نگاشت است که به یک تابع و یک نقطه، مقدار تابع در آن نقطه را نسبت می دهد. به طور دقیق، اگر
\[ X \]یک مجموعه و
\[ Y \]یک مجموعه دیگر باشد، و
\[ F(X,Y) \]مجموعه ی همه ی توابع از
\[ X \]به
\[ Y \]، آن گاه نگاشت تحلیلی
\[ \text{ev}:F(X,Y)\times X\to Y \]به صورت
\[ \text{ev}(f,x)=f(x) \]تعریف می شود.
در توپولوژی، اگر
\[ X \]و
\[ Y \]فضاهای توپولوژیکی باشند و
\[ F(X,Y) \]مجهز به توپولوژی یکنواخت (compact-open topology) باشد، نگاشت تحلیلی پیوسته است. این خاصیت در نظریه ی هموتوپی و آنالیز تابعی اهمیت دارد.
در جبر، برای یک فضای برداری
\[ V \]و دوگان آن
\[ V^* \]، نگاشت تحلیلی
\[ \text{ev}:V^*\times V\to F \](میدان پایه) به صورت
\[ \text{ev}(\phi,v)=\phi(v) \]یک فرم دوخطی (bilinear form) است که به جفت شدگی دوگان (dual pairing) معروف است.
در نظریه ی رسته ها، نگاشت تحلیلی در تعریف شیء توانی (exponential object) ظاهر می شود. در یک رسته ی بسته کارتزینی (Cartesian closed category)، برای هر دو شیء
\[ Y^X \](توان) و
\[ X \]، یک نگاشت تحلیلی
\[ \text{ev}:Y^X\times X\to Y \]وجود دارد که با خاصیت جهانی مشخص می شود.
در هندسه جبری، نگاشت تحلیلی برای ارزیابی چندجمله ای ها در نقاط به کار می رود. همچنین در نظریه ی نمایش، نگاشت تحلیلی روی گروه ها و جبرهای لی تعریف می شود.
\[ \text{ev}: \text{Hom}(X,Y) \times X \to Y \quad,\quad \text{ev}(f,x)=f(x) \]✏️ مثال:
\[ \text{ev}:C([0,1])\times[0,1]\to\mathbb{R} \]با
\[ \text{ev}(f,x)=f(x) \]یک نگاشت تحلیلی است.
\[ \text{ev}:V^*\times V\to F \]با
\[ \text{ev}(\phi,v)=\phi(v) \].
