نگاشت جابجایی (Shift Map)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :
نگاشت جابجایی (Shift Map) :
در آنالیز تابعی و نظریه ی سیستم های دینامیکی، نگاشت جابجایی (shift map) به دو مفهوم اصلی اشاره دارد: یکی در فضاهای دنباله ای (sequence spaces) و دیگری در سیستم های دینامیکی نمادین (symbolic dynamics).
در فضاهای دنباله ای مانند
\[ l^p \]یا فضای دنباله های دوطرفه، عملگر جابجایی (shift operator) به صورت
\[ (Sx)_n = x_{n+1} \](جابجایی به چپ) یا
\[ (Sx)_n = x_{n-1} \](جابجایی به راست) تعریف می شود. این عملگرها در نظریه ی عملگرها و معادلات تفاضلی کاربرد دارند.
در دینامیک نمادین، فضای دنباله های نامتناهی از یک الفبای متناهی (مانند
\[ \{0,1\}^{\mathbb{Z}} \]) در نظر گرفته می شود و نگاشت جابجایی
\[ \sigma \]به صورت
\[ (\sigma(x))_n = x_{n+1} \]تعریف می شود. این نگاشت یک سیستم دینامیکی گسسته است که رفتار آشوبناک و خواص ارگودیک را نشان می دهد. زیرمجموعه های ناوردای این نگاشت، مانند زیرشیفت های متنوع (subshifts of finite type)، در مطالعه ی سیستم های دینامیکی نمادین اهمیت دارند.
در نظریه ی کدگذاری و اطلاعات، نگاشت جابجایی با مفهوم شیفت رجیستر (shift register) مرتبط است. همچنین در پردازش سیگنال، عملگر تأخیر (delay operator) یک جابجایی است.
در نظریه ی ارگودیک، نگاشت جابجایی روی فضای دنباله ها با اندازه ی یکنواخت (برای دنباله های دوسویه) یک نگاشت مختلط کننده (mixing) و ارگودیک است.
\[ (Sx)_n = x_{n+1} \quad,\quad \sigma:\{0,1\}^{\mathbb{Z}} \to \{0,1\}^{\mathbb{Z}} \quad,\quad (\sigma(x))_n = x_{n+1} \]✏️ مثال: روی
\[ l^2(\mathbb{Z}) \]، عملگر جابجایی
\[ S \]یک عملگر یکانی (unitary) است. در دینامیک نمادین، جابجایی روی دنباله های دودویی مثال کلاسیک از یک سیستم آشوبناک است.
