نگاشت رد (Trace Map)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :

نگاشت رد (Trace Map) :

در جبر خطی و نظریه ی اعداد، رد (trace) یک نگاشت خطی از یک جبر به میدان پایه است. برای یک ماتریس مربعی

\[ A=(a_{ij}) \]

، رد برابر مجموع درایه های قطری است:

\[ \text{tr}(A)=\sum_i a_{ii} \]

. این تابع خطی است و دارای خاصیت

\[ \text{tr}(AB)=\text{tr}(BA) \]

می باشد.

در نظریه ی توسیع میدان ها، رد

\[ T_{L/K}:L\to K \]

مشابه هنجار تعریف می شود:

\[ T_{L/K}(a)=\text{tr}(m_a) \]

که

\[ m_a \]

عملگر ضرب در

\[ a \]

است. این نگاشت یک تابع

\[ K \]

-خطی است و در فرم های دیفرانسیلی و قضیه ی Riemann-Roch کاربرد دارد.

در نظریه ی نمایش گروه ها، رد یک نمایش (character) اطلاعات مهمی درباره ی نمایش به دست می دهد و در جدول کاراکترها استفاده می شود. رد نمایش، تابعی روی گروه است که تحت مزدوج گیری ناوردا می ماند.

در فیزیک، رد عملگر چگالی (density operator) در مکانیک آماری و مکانیک کوانتومی برابر یک است (نرمال سازی). همچنین در نظریه ی میدان، رد تانسورها و عملگرها ظاهر می شود.

در هندسه دیفرانسیل، رد یک تانسور (مثلا انحنای ریچی) با گرفتن انقباض (contraction) روی شاخص ها به دست می آید.

\[ \text{tr}(A) = \sum_i A_{ii} \quad,\quad \text{tr}(AB)=\text{tr}(BA) \quad,\quad T_{L/K}(a)=\text{tr}(m_a) \]

✏️ مثال:

\[ \text{tr}\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = a+d \]

. در توسیع

\[ \mathbb{C}/\mathbb{R} \]

،

\[ T_{\mathbb{C}/\mathbb{R}}(x+iy)=2x \]

.