نگاشت هنجار (Norm Map)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :

نگاشت هنجار (Norm Map) :

در نظریه ی اعداد و جبر، هنجار (norm) یک نگاشت از یک میدان یا جبر به اعداد حقیقی یا یک میدان پایه است. مهم ترین مثال، هنجار در توسیع میدان ها (field extensions) است. اگر

\[ L/K \]

یک توسیع متناهی از میدان ها باشد، هنجار

\[ N_{L/K}:L\to K \]

به صورت

\[ N_{L/K}(a)=\det(m_a) \]

تعریف می شود که

\[ m_a:L\to L \]

عملگر ضرب در

\[ a \]

است (به عنوان یک

\[ K \]

-خطی).

برای اعداد مختلط، هنجار

\[ N(a+ib)=a^2+b^2 \]

برابر مربع قدر مطلق است. برای اعداد گویای گاوسی (Gaussian rationals)، هنجار به

\[ \mathbb{Q} \]

مقادیر گویا می دهد.

در نظریه ی اعداد جبری، هنجار یک عنصر از میدان اعداد جبری، حاصلضرب همه ی مزدوج های آن (شامل مزدوج های مختلط) است. این مفهوم در محاسبه ی نرم ایده آل ها و مطالعه ی ساختار میدان های اعداد کاربرد دارد.

در نظریه ی گروه های جبری، هنجار ممکن است به نگاشت هایی مانند هنجار کاهش یافته (reduced norm) در جبرهای با تقسیم (division algebras) اشاره داشته باشد. قضیه ی اسکولم-نوتر (Skolem-Noether) و نظریه ی براهوئر-گروتندیک (Brauer-Grothendieck) از این مفهوم استفاده می کنند.

در آنالیز تابعی، هنجار یک بردار در فضای نرم دار، یک تابع (نه یک نگاشت خطی) است که طول را اندازه می گیرد و معمولا یک هنجار خطی نیست.

\[ N_{L/K}(a) = \det(\text{multiplication by } a) \quad,\quad N(a+ib)=a^2+b^2 \]

✏️ مثال: در توسیع

\[ \mathbb{C}/\mathbb{R} \]

،

\[ N_{\mathbb{C}/\mathbb{R}}(z)=|z|^2 \]

. در میدان اعداد

\[ \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \]

،

\[ N(a+b\sqrt{2}) = a^2 - 2b^2 \]

.