نگاشت الحاقی (در جبر) (Adjoint Map)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :

نگاشت الحاقی (در جبر) (Adjoint Map) :

در جبر، مفهوم الحاقی (adjoint) در زمینه های مختلف ظاهر می شود. در نظریه گروه های لی، نمایش الحاقی (adjoint representation) یک نمایش از گروه روی جبر لی خودش است. برای هر

\[ g\in G \]

، نگاشت

\[ \text{Ad}_g:\mathfrak{g}\to\mathfrak{g} \]

با

\[ \text{Ad}_g(X) = g X g^{-1} \]

(برای گروه های ماتریسی) تعریف می شود. مشتق این نگاشت، نمایش الحاقی جبر لی

\[ \text{ad}:\mathfrak{g}\to\mathfrak{gl}(\mathfrak{g}) \]

با

\[ \text{ad}_X(Y)=[X,Y] \]

است.

در نظریه ی حلقه ها و جبرهای شرکت پذیر، نگاشت الحاقی ممکن است به نگاشت ای اشاره داشته باشد که با یک فرم دوخطی (مانند فرم کیلینگ) همراه است. برای یک جبر، الحاق یک عنصر نسبت به یک فرم دوخطی ناتکین (nondegenerate) تعریف می شود.

در نظریه ی مدول ها و فضاهای برداری، الحاق یک عملگر خطی نسبت به یک فرم دوخطی (مانند ضرب داخلی) تعریف می شود. اگر

\[ B:V\times V\to F \]

یک فرم دوخطی ناتکین باشد، برای هر عملگر خطی

\[ T:V\to V \]

، عملگر الحاقی

\[ T^* \]

با

\[ B(Tv,w)=B(v,T^*w) \]

تعریف می شود.

در نظریه ی رسته ها، الحاق (adjunction) مفهومی کلی تر است که به جفت فانکتورها اشاره دارد. این مفهوم بنیادی در تمام ریاضیات است.

در فیزیک، عملگرهای الحاقی در مکانیک کوانتومی (مزدوج هرمیتی) و نظریه ی میدان اهمیت دارند.

\[ \text{Ad}_g(X) = g X g^{-1} \quad,\quad \text{ad}_X(Y)=[X,Y] \quad,\quad \langle T v, w\rangle = \langle v, T^* w\rangle \]

✏️ مثال: برای

\[ G=SO(3) \]

،

\[ \text{Ad}_R \]

یک ماتریس دوران در فضای سه بعدی است که بردارهای زاویه ای را می چرخاند. در جبر خطی، الحاق ماتریس

\[ A \]

نسبت به ضرب داخلی استاندارد، ترانهاده ی مزدوج

\[ A^\dagger \]

است.