نگاشت جابجاگر (Commutator Map)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :

نگاشت جابجاگر (Commutator Map) :

در جبر و نظریه گروه ها، جابجاگر (commutator) یک عملی است که میزان ناجابجایی دو عنصر را اندازه می گیرد. در گروه ها، جابجاگر دو عنصر

\[ g,h\in G \]

به صورت

\[ [g,h]=ghg^{-1}h^{-1} \]

تعریف می شود. این عنصر برابر همانی (identity) است اگر و فقط اگر

\[ g \]

و

\[ h \]

با هم جابجا شوند. زیرگروه مشتق (commutator subgroup)

\[ G' \]

زیرگروهی است که توسط همه ی جابجاگرها تولید می شود.

در جبر لی، جابجاگر (براکت لی)

\[ [X,Y] \]

یک عملی دوخطی و پادمتقارن است که اتحاد ژاکوبی را ارضا می کند و ساختار جبر لی را تعریف می کند. این براکت، میزان ناجابجایی میدان های برداری یا عملگرهای خطی را اندازه می گیرد.

در فیزیک، روابط کموتاسیون در مکانیک کوانتومی (مانند

\[ [x,p]=i\hbar \]

) نقش اساسی در اصل عدم قطعیت و دینامیک سیستم های کوانتومی دارند.

در نظریه ی حلقه ها، جابجاگر دو عنصر

\[ [a,b]=ab-ba \]

یک عنصر از حلقه است. حلقه ای که در آن همه ی جابجاگرها صفر باشند، حلقه ای جابجایی (commutative) نامیده می شود.

نگاشت جابجاگر

\[ \phi:G\times G\to G \]

با

\[ \phi(g,h)=[g,h] \]

یک نگاشت دوخطی نیست (چون گروه جابجایی نیست) اما اطلاعات مهمی درباره ی ساختار گروه می دهد.

\[ [g,h] = g h g^{-1} h^{-1} \quad\text{(گروه)}\quad,\quad [X,Y] = XY-YX \quad\text{(جبر لی)} \]

✏️ مثال: در گروه ماتریس های معکوس پذیر

\[ GL(n) \]

،

\[ [A,B]=ABA^{-1}B^{-1} \]

. در جبر لی

\[ gl(n) \]

،

\[ [A,B]=AB-BA \]

. در مکانیک کوانتومی،

\[ [x,p]=i\hbar \]

.