نگاشت مشتق (Derivation Map)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :

نگاشت مشتق (Derivation Map) :

در جبر و هندسه دیفرانسیل، یک مشتق (derivation) یک نگاشت خطی است که خاصیت لایبنیتز (Leibniz rule) را ارضا می کند. به طور دقیق، اگر

\[ A \]

یک جبر (مثلا یک جبر روی یک میدان) باشد، یک مشتق یک نگاشت خطی

\[ D:A\to A \]

است که

\[ D(ab)=D(a)b + aD(b) \]

برای همه

\[ a,b\in A \]

.

مشتق ها مفهوم مشتق در حسابان را به ساختارهای جبری تعمیم می دهند. مهم ترین مثال از مشتق، مشتق معمولی توابع است:

\[ \frac{d}{dx} \]

روی جبر توابع هموار، یک مشتق است. همچنین در جبر لی، براکت لی

\[ [X,\cdot] \]

یک مشتق روی جبر لی است (اتحاد ژاکوبی).

در هندسه دیفرانسیل، میدان های برداری به عنوان مشتق هایی روی جبر توابع هموار عمل می کنند. هر میدان برداری

\[ X \]

یک مشتق

\[ X:C^\infty(M)\to C^\infty(M) \]

تعریف می کند.

در نظریه ی حلقه ها، مشتق ها برای مطالعه ی حلقه های دیفرانسیلی و حلقه های با عملگرهای دیفرانسیلی به کار می روند. مجموعه ی همه ی مشتق های یک جبر

\[ A \]

، یک جبر لی (Lie algebra) تشکیل می دهد.

در فیزیک، مشتق ها در مکانیک کوانتومی (روابط کموتاسیون) و نظریه ی میدان ظاهر می شوند.

\[ D(ab) = D(a)b + aD(b) \quad,\quad D \text{ linear} \]

✏️ مثال: روی جبر چندجمله ای

\[ \mathbb{R}[x] \]

، عملگر

\[ \frac{d}{dx} \]

یک مشتق است. در جبر ماتریس ها، نگاشت

\[ D_A(B)=[A,B]=AB-BA \]

یک مشتق داخلی (inner derivation) است.