نگاشت پاد-خودریختی (Anti-automorphism)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :
نگاشت پاد-خودریختی (Anti-automorphism) :
در جبر، یک پاد-خودریختی (anti-automorphism) یک نگاشت دوسویه (bijection) از یک ساختار جبری به خودش است که عملیات را به ترتیب وارونه حفظ می کند. به عبارت دیگر،
\[ f:X\to X \]یک پاد-خودریختی است اگر
\[ f(xy)=f(y)f(x) \]برای همه
\[ x,y\in X \](و خواص مشابه برای جمع و ضرب اسکالر، بسته به ساختار).
اگر
\[ f \]فقط یک پاد-همومورفیسم (anti-homomorphism) باشد (یعنی نه لزوما دوسویه)، آن را پاد-درون ریختی (anti-endomorphism) می نامیم. یک پاد-خودریختی که با دوبار اعمال کردن، نگاشت همانی به دست آید (یعنی
\[ f^2=id \])، یک پاد-خودریختی دوری (involutive anti-automorphism) نامیده می شود.
مثال های مهم: ترانهاده (transpose) ماتریس:
\[ (AB)^T = B^T A^T \]، پس ترانهاده یک پاد-خودریختی از جبر ماتریس ها به خودش است. همچنین وارون (inversion) در یک گروه:
\[ (ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1} \]یک پاد-خودریختی از گروه به خودش است.
در نظریه ی حلقه ها، یک پاد-خودریختی اغلب برای تعریف حلقه ی متقابل (opposite ring) به کار می رود. یک *-حلقه (star-ring) حلقه ای است که مجهز به یک پاد-خودریختی دوری (یک *-عمل) باشد، مانند اعداد مختلط با مزدوج گیری.
در فیزیک، مزدوج گیری بار (charge conjugation) در نظریه ی میدان های کوانتومی یک پاد-خودریختی از جبر عملگرهاست.
\[ f(xy) = f(y)f(x) \quad,\quad f \text{ bijective} \]✏️ مثال:
\[ f:\text{Mat}_n(\mathbb{R})\to\text{Mat}_n(\mathbb{R}) \]با
\[ f(A)=A^T \]یک پاد-خودریختی است.
\[ f:G\to G \]در یک گروه با
\[ f(g)=g^{-1} \]یک پاد-خودریختی است. مزدوج گیری مختلط در
\[ \mathbb{C} \]یک پاد-خودریختی از میدان
\[ \mathbb{C} \]به خودش است (چون
\[ \overline{zw}=\bar{z}\bar{w} \]، اینجا ضرب جابجایی است پس همان خودریختی است، اما اگر ساختار جبری ناجابجایی باشد، پاد-خودریختی معنی می دهد).
