نگاشت خودریختی (Automorphism)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :
نگاشت خودریختی (Automorphism) :
در جبر، یک خودریختی (automorphism) یک درون ریختی (endomorphism) است که خود یک یکریختی (isomorphism) باشد، یعنی دوسویه (bijective) و دارای وارون که آن نیز یک همومورفیسم است. به عبارت دیگر، یک خودریختی یک تناظر یک به یک از یک شیء ریاضی به خودش است که ساختار را حفظ می کند.
مجموعه ی همه ی خودریختی های یک شیء
\[ X \]با
\[ \text{Aut}(X) \]نشان داده می شود و تحت ترکیب توابع یک گروه تشکیل می دهد که گروه خودریختی (automorphism group) نامیده می شود. این گروه تقارن های شیء را توصیف می کند.
مثال ها: گروه خودریختی یک فضای برداری
\[ V \]همان گروه خطی عام
\[ GL(V) \]است. خودریختی های یک گروه، گروه
\[ \text{Aut}(G) \]را تشکیل می دهند. برای یک گراف، خودریختی ها جایگشت های رأس هایی هستند که یال ها را حفظ می کنند.
خودریختی های داخلی (inner automorphisms) در گروه ها آن هایی هستند که به صورت مزدوج گیری با یک عنصر ثابت به دست می آیند:
\[ \phi_g(x)=gxg^{-1} \]. این خودریختی ها یک زیرگروه نرمال از گروه خودریختی تشکیل می دهند.
در فیزیک، گروه خودریختی یک فضا-زمان (مثلا گروه پوانکاره) بیانگر تقارن های آن فضا-زمان است و نقش اساسی در نظریه ی میدان های کوانتومی دارد.
\[ f \in \text{Aut}(X) \iff f \text{ isomorphism } f:X\to X \]✏️ مثال:
\[ f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 \]با
\[ f(x,y)=(y,x) \]یک خودریختی خطی (و جابجایی مختصات) است.
\[ f:\mathbb{C}\to\mathbb{C} \]با
\[ f(z)=\bar{z} \]یک خودریختی از
\[ \mathbb{C} \]به عنوان یک میدان است (اما
\[ \mathbb{C} \]-خطی نیست،
\[ \mathbb{R} \]-خطی است).
