نگاشت درون ریختی (Endomorphism)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :

نگاشت درون ریختی (Endomorphism) :

در جبر، یک درون ریختی (endomorphism) یک همومورفیسم از یک شیء ریاضی به خودش است. یعنی اگر

\[ X \]

یک ساختار جبری (گروه، حلقه، مدول، فضا‌ی برداری و غیره) باشد، یک درون ریختی

\[ f:X\to X \]

یک همومورفیسم است. مجموعه ی همه ی درون ریختی های

\[ X \]

معمولا با

\[ \text{End}(X) \]

نشان داده می شود و تحت ترکیب توابع یک تکواره (monoid) تشکیل می دهد.

اگر

\[ X \]

یک فضای برداری باشد، یک درون ریختی خطی همان عملگر خطی (linear operator) روی آن فضا است. برای گروه ها، درون ریختی ها همومورفیسم های گروهی از گروه به خودش هستند.

درون ریختی ها نقش مهمی در مطالعه ی تقارن ها و تبدیل های یک شیء دارند. اگر یک درون ریختی دوسویه (bijective) باشد، آن را خودریختی (automorphism) می نامیم.

در جبر خطی، مطالعه ی درون ریختی ها (عملگرهای خطی) به نظریه ی مقادیر ویژه، فرم کانونی ژوردن و قطری سازی منجر می شود. در نظریه ی گروه ها، درون ریختی ها برای تعریف مرکز (center) و مشتق (commutator) به کار می روند.

در نظریه ی رسته ها، یک درون ریختی یک ریختار (morphism) است که مبدأ و مقصد یکسانی دارند.

\[ f: X \to X \quad,\quad f(xy)=f(x)f(y) \text{ (برای گروه ها)} \]

✏️ مثال:

\[ f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z} \]

با

\[ f(n)=2n \]

یک درون ریختی گروهی است.

\[ T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 \]

با

\[ T(x,y)=(x+y, x-y) \]

یک درون ریختی خطی است.