نگاشت هم ریختی (Isomorphism)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :
نگاشت هم ریختی (Isomorphism) :
نگاشت یکریختی یا یکریختی (Isomorphism) یکی از مفاهیم بنیادی در ریاضیات است که به معنای تشابه ساختاری بین دو ساختار ریاضی می باشد. این مفهوم بیان می کند که دو شیء ریاضی از نظر ساختاری یکسان هستند، حتی اگر عناصر تشکیل دهنده آنها متفاوت باشند.
تعریف دقیق
یک نگاشت
\[ \phi: A \rightarrow B \]بین دو ساختار مشابه
\[ A \]و
\[ B \]را یکریختی گوییم هرگاه:
تابعی یک به یک (Injectivity) باشد: اگر
\[ \phi(x) = \phi(y) \]آنگاه
\[ x = y \]تابعی پوشا (Surjectivity) باشد: برای هر
\[ b \in B \]عضو
\[ a \in A \]وجود دارد که
\[ \phi(a) = b \]ساختار را حفظ کند (Structure-preserving) : عملیات و روابط تعریف شده در
\[ A \]و
\[ B \]تحت این نگاشت متناظر باشند
ویژگی های اصلی
حفظ عملیات : اگر
\[ * \]عملی در
\[ A \]و
\[ \circ \]عملی در
\[ B \]باشد:
\[ \phi(a_1 * a_2) = \phi(a_1) \circ \phi(a_2) \]وارون پذیری : هر یکریختی یک وارون (Inverse) دارد که آن نیز یکریخت است.
هم ارزی : وجود یکریختی بین دو ساختار به معنای هم ریختی (Isomorphic) بودن آنهاست.
مثال های مهم
۱. یکریختی در نظریه گروه ها
تابع
\[ \phi: (\mathbb{Z}, +) \rightarrow (2\mathbb{Z}, +) \]با ضابطه
\[ \phi(n) = 2n \]یک یکریختی است:
حفظ عملی جمع:
\[ \phi(m+n) = 2(m+n) = 2m + 2n = \phi(m) + \phi(n) \]۲. یکریختی در نظریه گراف
دو گراف که با تغییر نام رئوس به یکدیگر تبدیل می شوند، یکریخت هستند:
حفظ یال ها: اگر
\[ u \]و
\[ v \]در گراف اول مجاور باشند، تصاویر آنها در گراف دوم نیز مجاورند.
۳. یکریختی در فضاهای برداری
تبدیل خطی
\[ T: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 \]با ضابطه
\[ T(x,y) = (x+y, x-y) \]یک یکریختی است.
