نگاشت اپی ریختی (Epimorphism)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :

نگاشت اپی ریختی (Epimorphism) :

در جبر و نظریه ی رسته ها، یک اپی ریختی (epimorphism) یک ریختار (morphism) است که خاصیت حذف پذیری راست (right-cancellative) دارد. یعنی

\[ f:X\to Y \]

یک اپی ریختی است اگر برای هر ریختار

\[ g_1,g_2:Y\to Z \]

، تساوی

\[ g_1\circ f = g_2\circ f \]

نتیجه دهد

\[ g_1=g_2 \]

.

در رسته های جبری (مانند گروه ها، حلقه ها، مدول ها)، اپی ریختی ها دقیقا همان همومورفیسم های پوشا (surjective) هستند. اما در رسته های دیگر ممکن است این معادل سازی برقرار نباشد. برای مثال، در رسته ی حلقه های جابجایی، درون ریختی (embedding)

\[ \mathbb{Z}\to\mathbb{Q} \]

یک اپی ریختی است (چون هر حلقه ای که یک همریختی از

\[ \mathbb{Q} \]

بپذیرد، به طور یکتا تعیین می شود) اما پوشا نیست.

در رسته ی فضاهای توپولوژیکی، اپی ریختی ها همان نگاشت های پیوسته ی با تصویر چگال (dense image) هستند (نه لزوما پوشا).

اپی ریختی ها دوگان (dual) تک ریختی ها هستند. مفهوم اپی ریختی برای توصیف خارج قسمت ها (quotients) و اشیاء خارج قسمتی به کار می رود.

در جبر، یک اپی ریختی معمولا هم دامنه (cokernel) صفر دارد (در رسته های دارای شیء صفر).

\[ g_1\circ f = g_2\circ f \implies g_1=g_2 \]

✏️ مثال:

\[ f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}_n \]

با

\[ f(k)=k\mod n \]

یک اپی ریختی در رسته ی گروه هاست (پوشا). در رسته ی حلقه ها،

\[ f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Q} \]

با

\[ f(n)=n \]

یک اپی ریختی است (با اینکه پوشا نیست).