نگاشت همومورفیسم (Homomorphism)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :
نگاشت همومورفیسم (Homomorphism) :
در جبر، یک همومورفیسم (homomorphism) یک نگاشت بین دو ساختار جبری از یک نوع است که عملیات جبری را حفظ می کند. بسته به نوع ساختار، انواع مختلفی از همومورفیسم داریم: همومورفیسم گروهی (group homomorphism) که عمل گروه را حفظ می کند:
\[ f(ab)=f(a)f(b) \]; همومورفیسم حلقه ای (ring homomorphism) که جمع و ضرب را حفظ می کند; همومورفیسم مدولی (module homomorphism) که جمع و ضرب اسکالر را حفظ می کند; و همومورفیسم جبری (algebra homomorphism) که علاوه بر این ها، ضرب جبر را نیز حفظ می کند.
به طور کلی، اگر
\[ (A,\cdot_A) \]و
\[ (B,\cdot_B) \]دو مجموعه ی مجهز به یک عملیات دوتایی باشند، یک نگاشت
\[ f:A\to B \]یک همومورفیسم است اگر
\[ f(x\cdot_A y)=f(x)\cdot_B f(y) \]برای همه
\[ x,y\in A \].
همومورفیسم ها ابزار اصلی مقایسه ی ساختارهای جبری هستند. هسته (kernel) و تصویر (image) یک همومورفیسم اطلاعات مهمی درباره ی آن می دهند. قضایای یکریختی (isomorphism theorems) روابط بین این اشیاء را بیان می کنند.
اگر یک همومورفیسم دوسویه (bijective) باشد، آن را یکریختی (isomorphism) می نامیم. اگر دامنه و مقصد یکسان باشند، آن را درون ریختی (endomorphism) و اگر دوسویه هم باشد، خودریختی (automorphism) می نامیم.
در نظریه ی رسته ها (category theory)، همومورفیسم ها ریختار (morphisms) در رسته ی ساختارهای جبری هستند.
\[ f(xy) = f(x)f(y) \quad,\quad f(x+y)=f(x)+f(y) \]✏️ مثال:
\[ f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}_n \]با
\[ f(k)=k \mod n \]یک همومورفیسم حلقه ای است.
\[ f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R} \]با
\[ f(x)=\ln x \]یک همومورفیسم از گروه ضربی به گروه جمعی است.
