نگاشت کیلینگ (Killing Map)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :
نگاشت کیلینگ (Killing Map) :
در هندسه ریمانی، یک میدان برداری کیلینگ (Killing vector field) یک میدان برداری است که متریک را حفظ می کند، یعنی مشتق لی (Lie derivative) متریک نسبت به آن صفر است:
\[ \mathcal{L}_X g = 0 \]. این میدان ها با تقارن های پیوسته ی منیفلد متناظرند. اما «نگاشت کیلینگ» معمولا به نگاشتی اطلاق می شود که با ساختار کیلینگ مرتبط است.
در نظریه ی گروه های لی و فضاهای متقارن، یک نگاشت کیلینگ (Killing map) ممکن است به نگاشت الحاقی (adjoint map) مرتبط با فرم کیلینگ (Killing form) اشاره داشته باشد. فرم کیلینگ یک فرم دوخطی متقارن روی جبر لی است که به صورت
\[ B(X,Y)=\text{tr}(\text{ad}_X \circ \text{ad}_Y) \]تعریف می شود. این فرم نقش مهمی در طبقه بندی گروه های لی ساده دارد.
در نسبیت عام، میدان های کیلینگ با بقای تکانه-انرژی و تکانه ی زاویه ای مرتبط هستند. وجود یک میدان کیلینگ به معنای وجود یک قانون بقا در فضا-زمان است.
یک «نگاشت کیلینگ» همچنین می تواند به عنوان یک دی فئومورفیسم که متریک را حفظ می کند (یک ایزومتری) تعبیر شود. مجموعه ی همه ی ایزومتری های یک منیفلد ریمانی یک گروه لی (احتمالا با بعد متناهی) تشکیل می دهد که گروه ایزومتری نامیده می شود.
در فیزیک ریاضی، نگاشت های کیلینگ برای مطالعه ی تقارن های معادلات میدان و یافتن جواب های دقیق معادلات اینشتین به کار می روند.
\[ \mathcal{L}_X g = 0 \quad,\quad B(X,Y) = \text{tr}(\text{ad}_X \circ \text{ad}_Y) \]✏️ مثال: روی کره ی
\[ S^2 \]با متر استاندارد، دوران ها میدان های کیلینگ تولید می کنند. در فضای مینکوفسکی (نسبیت خاص)، میدان های کیلینگ متناظر با ترادیسی ها، چرخش ها و لنتی ها (boosts) هستند.
