نگاشت هم تافته (Symplectomorphism)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :

نگاشت هم تافته (Symplectomorphism) :

در هندسه سیمپلکتیک، یک هم تافته (symplectomorphism) یک دی فئومورفیسم بین دو منیفلد سیمپلکتیک است که فرم سیمپلکتیک را حفظ می کند. اگر

\[ (M,\omega) \]

و

\[ (N,\eta) \]

منیفلدهای سیمپلکتیک باشند، یک دی فئومورفیسم

\[ \phi:M\to N \]

یک هم تافته است اگر

\[ \phi^*\eta = \omega \]

.

این نگاشت ها معادل یکریختی ها (isomorphisms) در رسته ی منیفلدهای سیمپلکتیک هستند. آن ها ساختار سیمپلکتیک را حفظ می کنند، به این معنی که جواب های معادلات همیلتون را به جواب های معادلات همیلتون (با هامیلتونی مناسب) تبدیل می کنند.

هم تافته ها در مکانیک کلاسیک نقش اساسی دارند: تحول زمانی یک سیستم همیلتونی (شار همیلتونی) یک خانواده ی یک پارامتری از هم تافته هاست. همچنین تبدیل های متعارف (canonical transformations) که در مکانیک برای ساده سازی معادلات استفاده می شوند، هم تافته هستند.

خواص مهم هم تافته ها: آن ها حجم فاز را حفظ می کنند (چون

\[ \omega^n \]

یک فرم حجمی است). همچنین قضیه ی پوانکاره-کارتان می گوید که یک دی فئومورفیسم هم تافته است اگر و فقط اگر فرم عمل (action form) را تا یک دیفرانسیل موضعی حفظ کند.

گروه همه ی هم تافته های یک منیفلد سیمپلکتیک، گروه سیمپلکتیک (symplectomorphism group) نامیده می شود که یک گروه بی نهایت بعدی است و نقش مهمی در هندسه و فیزیک دارد.

\[ \phi^*\eta = \omega \quad,\quad \phi: M \to N \text{ diffeomorphism} \]

✏️ مثال: روی

\[ \mathbb{R}^{2n} \]

با فرم سیمپلکتیک استاندارد

\[ \omega = \sum dx_i \wedge dy_i \]

، ترجمه ها و چرخش های خطی که ماتریس آن ها در گروه سیمپلکتیک

\[ Sp(2n,\mathbb{R}) \]

باشد، هم تافته هستند. تبدیل

\[ f(q,p)=(Q(q,p),P(q,p)) \]

که کروشه های پواسون را حفظ کند، هم تافته است.