نگاشت پواسون (Poisson Map)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :
نگاشت پواسون (Poisson Map) :
در هندسه سیمپلکتیک و مکانیک همیلتونی، یک نگاشت پواسون (Poisson map) نگاشتی بین منیفلدهای پواسون (Poisson manifolds) است که ساختار پواسون را حفظ می کند. یک منیفلد پواسون، منیفلدی است که به یک کروشه پواسون (Poisson bracket)
\[ \{\cdot,\cdot\} \]مجهز شده است که یک عملی دوخطی روی توابع هموار بوده و خواص پادمتقارنی، خاصیت لایبنیتز و اتحاد ژاکوبی را دارد.
اگر
\[ (M,\{\cdot,\cdot\}_M) \]و
\[ (N,\{\cdot,\cdot\}_N) \]منیفلدهای پواسون باشند، یک نگاشت هموار
\[ \phi:M\to N \]یک نگاشت پواسون است اگر برای هر
\[ f,g\in C^\infty(N) \]داشته باشیم:
\[ \{f\circ\phi, g\circ\phi\}_M = \{f,g\}_N\circ\phi \]. به عبارت دیگر،
\[ \phi \]کروشه پواسون را به عقب می کشد.
این نگاشت ها نقش اساسی در کاهش سیمپلکتیک (symplectic reduction) و نظریه ی سیستم های انتگرال پذیر دارند. قضیه ی مهمی می گوید که اگر
\[ \phi \]یک نگاشت پواسون باشد، آن گاه میدان های برداری همیلتونی تحت
\[ \phi \]به میدان های برداری همیلتونی نگاشته می شوند (یعنی
\[ \phi_* X_{f\circ\phi} = X_f \circ \phi \]).
در مکانیک، تبدیل های متغیرهایی که ساختار پواسون را حفظ می کنند، تبدیل های پواسون نامیده می شوند. این تبدیل ها معادلات حرکت را به شکل کوواریانت (هموردا) حفظ می کنند.
ساختارهای پواسون تعمیم ساختارهای سیمپلکتیک هستند و در سیستم های با قید (مانند سیستم های با تقارن) ظاهر می شوند.
\[ \{f\circ\phi, g\circ\phi\}_M = \{f,g\}_N\circ\phi \quad,\quad \phi:M\to N \]✏️ مثال: هر نگاشت سیمپلکتیک (symplectomorphism) بین منیفلدهای سیمپلکتیک یک نگاشت پواسون است (زیرا ساختار سیمپلکتیک یک ساختار پواسون القا می کند). تصویر یک منیفلد پواسون تحت یک نگاشت پواسون، زیرمنیفلد پواسون است.
