نگاشت کنتاکت (Contact Map)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :

نگاشت کنتاکت (Contact Map) :

در هندسه ی تماسی (contact geometry)، یک نگاشت تماسی (contact map) یا دگرریختی تماسی (contactomorphism) یک دی فئومورفیسم بین منیفلدهای تماسی است که ساختار تماس را حفظ می کند. ساختار تماس روی یک منیفلد

\[ M \]

با بعد فرد

\[ 2n+1 \]

توسط یک توزیع (distribution) از ابررویه ها (یک فرم تماس

\[ \alpha \]

) تعریف می شود که در آن

\[ \alpha \wedge (d\alpha)^n \]

یک فرم حجمی است.

یک نگاشت

\[ f:M\to M \]

تماسی (contact map) است اگر

\[ f^*\alpha = \lambda \alpha \]

برای یک تابع ناصفر (و معمولا مثبت)

\[ \lambda \]

روی

\[ M \]

. اگر

\[ \lambda=1 \]

باشد،

\[ f \]

یک تماس ریختی (strict contactomorphism) نامیده می شود.

هندسه ی تماس معادل اُپتیکی هندسی (geometric optics) و ترمودینامیک است. در این زمینه، نگاشت های تماسی قوانین بقا و تبدیل های متغیرها را توصیف می کنند. برای مثال، در اپتیک، اصل فرما منجر به ساختار تماس روی فضای پرتوها می شود.

در نظریه ی معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی، تبدیل های تماسی (contact transformations) برای حل معادلات همیلتون-ژاکوبی و معادلات مرتبه اول به کار می روند. این تبدیل ها توسط سوفوس لی معرفی شدند.

در فیزیک، ساختارهای تماس در سیستم های همیلتونی با ترم اتلاف (dissipative systems) و همچنین در نظریه ی ریسمان ظاهر می شوند. گروه تماس ریختی ها (contactomorphism group) نقش مهمی در طبقه بندی منیفلدهای تماسی دارد.

\[ f^*\alpha = \lambda \alpha \quad,\quad \lambda: M \to \mathbb{R}^\times \quad,\quad d\alpha \text{ non-degenerate on } \ker\alpha \]

✏️ مثال: روی

\[ \mathbb{R}^3 \]

با ساختار تماس استاندارد

\[ \alpha = dz - y dx \]

، نگاشت

\[ f(x,y,z)=(x, y, z+xy) \]

یک تماس ریختی است (چون

\[ f^*\alpha = \alpha \]

). دوران ها و انتقال ها نیز تماسی هستند.