نگاشت الحاقی (در هندسه) (Adjoint Map)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :

نگاشت الحاقی (در هندسه) (Adjoint Map) :

در هندسه دیفرانسیل و ریمانی، نگاشت الحاقی (adjoint map) معمولا به الحاق یک عملگر خطی نسبت به یک متر (ضرب داخلی) اشاره دارد. اگر

\[ V \]

و

\[ W \]

فضاهای ضرب داخلی باشند و

\[ T:V\to W \]

یک عملگر خطی، آن گاه عملگر الحاقی

\[ T^*:W\to V \]

با ویژگی

\[ \langle T v, w\rangle_W = \langle v, T^* w\rangle_V \]

تعریف می شود.

در زمینه ی منیفلدهای ریمانی، این مفهوم برای عملگرهای دیفرانسیلی و عملگرهای روی فضاهای تانسوری به کار می رود. برای مثال، عملگر دیفرانسیلی

\[ d \]

(مشتق خارجی) دارای الحاق

\[ \delta \]

(هم مشتق) نسبت به ضرب داخلی

\[ L^2 \]

روی فرم های دیفرانسیلی است که با نماد

\[ d^* \]

یا

\[ \delta \]

نشان داده می شود. این عملگرها در نظریه ی هاج (Hodge theory) و معادلات ماکسول روی منیفلدها نقش دارند.

در نظریه ی گروه های لی، نمایش الحاقی (adjoint representation)

\[ \text{Ad}:G\to GL(\mathfrak{g}) \]

یک گروه لی روی جبر لی خودش، از طریق مزدوج گیری تعریف می شود:

\[ \text{Ad}_g(X) = g X g^{-1} \]

(برای گروه های ماتریسی). مشتق این نمایش، نمایش الحاقی جبر لی

\[ \text{ad}:\mathfrak{g}\to \mathfrak{gl}(\mathfrak{g}) \]

با

\[ \text{ad}_X(Y)=[X,Y] \]

است.

در هندسه سیمپلکتیک، الحاق یک میدان برداری همیلتونی نسبت به ساختار سیمپلکتیک تعریف می شود. همچنین در نظریه ی اتصالات (connections)، الحاق یک اتصال نسبت به متر ریمانی مفهوم اتصال متریک (metric connection) را به دست می دهد.

\[ \langle T v, w \rangle = \langle v, T^* w \rangle \quad,\quad \text{Ad}_g(X) = g X g^{-1} \]

✏️ مثال: در

\[ \mathbb{R}^n \]

، الحاق ماتریس

\[ A \]

برابر ترانهاده ی آن

\[ A^T \]

است. در نظریه ی هاج، عملگر

\[ \delta \]

(هم مشتق) الحاق

\[ d \]

است.