نگاشت هم باف (Cotangent Map)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :

نگاشت هم باف (Cotangent Map) :

در هندسه دیفرانسیل، نگاشت هم باف (cotangent map) یا pullback روی فضاهای هم باف، دوگان (dual) نگاشت دیفرانسیل (pushforward) است. اگر

\[ f:M\to N \]

یک نگاشت هموار باشد، در هر نقطه

\[ p\in M \]

، یک نگاشت خطی

\[ f^*: T_{f(p)}^*N \to T_p^*M \]

بین فضاهای هم باف (فضای دوگان فضاهای مماس) تعریف می شود که به هر کُبردار (covector)

\[ \omega\in T_{f(p)}^*N \]

، کُبردار

\[ f^*\omega\in T_p^*M \]

را به صورت

\[ (f^*\omega)(v) = \omega(df_p(v)) \]

برای هر

\[ v\in T_pM \]

نسبت می دهد.

این نگاشت نقش اساسی در انتقال فرم های دیفرانسیلی (differential forms) دارد. اگر

\[ \omega \]

یک فرم دیفرانسیلی روی

\[ N \]

باشد،

\[ f^*\omega \]

یک فرم دیفرانسیلی روی

\[ M \]

است. این عملیات با ضرب خارجی (wedge product) و مشتق خارجی (exterior derivative) جابجا می شود:

\[ f^*(d\omega) = d(f^*\omega) \]

.

در مکانیک همیلتونی، نگاشت هم باف برای تعریف تبدیل های متغیرها روی فضای فاز (که یک خمینه ی هم باف است) استفاده می شود. یک دی فئومورفیسم

\[ f:M\to M \]

یک نگاشت هم باف

\[ f^*:T^*M\to T^*M \]

القا می کند که ساختار سیمپلکتیک را حفظ می کند (یعنی یک سیمپلکتومورفیسم است).

در هندسه جبری، pullback روی حلقه های توابع منجر به تعریف مورفیسم های بین واریته ها می شود.

هم باف (cotangent) همچنین در نظریه ی کنترل بهینه و سیستم های لاگرانژی ظاهر می شود.

\[ f^*: T_{f(p)}^*N \to T_p^*M \quad,\quad (f^*\omega)(v) = \omega(f_*v) \]

✏️ مثال: اگر

\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2 \]

با

\[ f(t)=(\cos t,\sin t) \]

و

\[ \omega = x dy - y dx \]

روی

\[ \mathbb{R}^2 \]

، آن گاه

\[ f^*\omega = \cos t \, d(\sin t) - \sin t \, d(\cos t) = dt \]

.