نگاشت دیفرانسیلی (Differential of a Map)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :
نگاشت دیفرانسیلی (Differential of a Map) :
در حسابان روی منیفلدها، دیفرانسیل یک نگاشت (differential of a map) که با
\[ df \]یا
\[ f_* \]نشان داده می شود، تعمیم مشتق توابع چندمتغیره به نگاشت های بین منیفلدهاست. برای یک نگاشت هموار
\[ f:M\to N \]، دیفرانسیل در نقطه
\[ p\in M \]یک نگاشت خطی
\[ df_p:T_pM\to T_{f(p)}N \]است که بردارهای مماس را به بردارهای مماس می برد. اگر
\[ v\in T_pM \]به عنوان یک عملگر مشتق گیری روی توابع تعبیر شود، آن گاه
\[ df_p(v) \]بر روی
\[ g:N\to\mathbb{R} \]به صورت
\[ df_p(v)(g) = v(g\circ f) \]عمل می کند.
در مختصات موضعی،
\[ df_p \]با ماتریس ژاکوبی
\[ J_f(p) \]نمایش داده می شود. این ماتریس مشتقات جزئی مؤلفه های
\[ f \]نسبت به مختصات را شامل می شود. رتبه ی این ماتریس در نقطه
\[ p \]، رتبه ی نگاشت در آن نقطه نامیده می شود.
دیفرانسیل مفهوم اساسی در هندسه دیفرانسیل است و برای تعریف غوطه وری ها (immersion)، زیروردی ها (submersion)، و دی فئومورفیسم ها به کار می رود. قضیه ی تابع معکوس و قضیه ی تابع ضمنی برای نگاشت های بین منیفلدها بر اساس دیفرانسیل فرمول بندی می شوند.
دیفرانسیل همچنین نقش اساسی در انتقال میدان های برداری (pushforward) و فرم های دیفرانسیلی (pullback) دارد. رابطه ی
\[ f_*[X,Y] = [f_*X, f_*Y] \]برای دی فئومورفیسم ها (و به طور کلی برای نگاشت هایی که دیفرانسیل آن ها یکریخت است) برقرار است.
در فیزیک، دیفرانسیل نگاشت برای تبدیل مختصات در مکانیک لاگرانژی و همیلتونی استفاده می شود.
\[ df_p: T_pM \to T_{f(p)}N \quad,\quad df_p(v)(g) = v(g\circ f) \]✏️ مثال: اگر
\[ f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 \]با
\[ f(u,v)=(u,v,u^2+v^2) \]، آن گاه
\[ df_{(u,v)} \]ماتریسی
\[ 3\times 2 \]با ستون های
\[ (1,0,2u)^T \]و
\[ (0,1,2v)^T \]است.
