نگاشت لاپلاس (Laplace Map / Laplace Operator)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :
نگاشت لاپلاس (Laplace Map / Laplace Operator) :
عملگر لاپلاس (Laplace operator) یا لاپلاسین (Laplacian) یک عملگر دیفرانسیلی مرتبه ی دوم است که به صورت
\[ \Delta = \nabla^2 = \sum_{i=1}^n \frac{\partial^2}{\partial x_i^2} \]در مختصات دکارتی تعریف می شود. اگرچه لاپلاسین یک عملگر است (نه یک نگاشت به معنای ساده)، اما می توان آن را به عنوان یک نگاشت خطی از فضای توابع (با شرایط مناسب) به فضای توابع در نظر گرفت:
\[ \Delta: C^\infty(M) \to C^\infty(M) \].
در فیزیک، معادله ی لاپلاس
\[ \Delta f=0 \](توابع هارمونیک) در الکتریسیته ی ساکن، گرانش، و مکانیک سیالات ظاهر می شود. معادله ی گرما و موج نیز شامل لاپلاسین هستند. عملگر لاپلاس-بلترامی (Laplace-Beltrami operator) تعمیم لاپلاسین به منیفلدهای ریمانی است:
\[ \Delta_g = \text{div}_g \circ \nabla_g \].
در آنالیز تابعی، لاپلاسین یک عملگر خودالحاق (self-adjoint) روی فضاهای تابعی مناسب (مانند
\[ L^2 \]) است و طیف آن اطلاعات مهمی درباره ی هندسه ی منیفلد ارائه می دهد (هندسه ی طیفی). برای مثال، مقادیر ویژه ی لاپلاسین روی یک منیفلد فشرده، به ابعاد، انحنا و حتی توپولوژی آن مرتبط است.
در نظریه ی احتمالات، لاپلاسین با فرایندهای دیفیوژن (نظیر حرکت براونی) ارتباط دارد. در پردازش تصویر، عملگر لاپلاس برای تشخیص لبه ها به کار می رود.
در هندسه، عملگر لاپلاس روی فرم های دیفرانسیلی (لاپلاس-دو رام) در کوهمولوژی هاج (Hodge theory) نقش اساسی دارد و به تجزیه ی فضاهای هارمونیک منجر می شود.
\[ \Delta f = \nabla^2 f = \sum_i \frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2} \quad,\quad \Delta_g = \text{div}_g \circ \nabla_g \]✏️ مثال: تابع
\[ f(x,y)=x^2-y^2 \]روی
\[ \mathbb{R}^2 \]هارمونیک است (لاپلاس آن صفر است). روی کره ی
\[ S^2 \]، توابع هارمونیک کروی (spherical harmonics) ویژه توابع لاپلاس-بلترامی هستند.
