نگاشت نمایی در آنالیز تانسوری (Exponential Map)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :
نگاشت نمایی در آنالیز تانسوری (Exponential Map) :
در آنالیز تانسوری و هندسه دیفرانسیل، نگاشت نمایی (exponential map) که قبلا برای بردارهای مماس تعریف شد، در زمینه ی تانسورها نیز کاربرد دارد. اما یک مفهوم مرتبط، نمایی تانسوری (tensor exponential) است که در برخی نظریه های فیزیکی (مانند نسبیت عام و مکانیک محیط های پیوسته) برای تعریف کرنش های بزرگ به کار می رود.
در نسبیت عام، نگاشت نمایی روی خمینه ی فضا-زمان برای مطالعه ی همسایگی های نرمال و مختصات نرمال ریمانی استفاده می شود. در این مختصات، ژئودزیک ها به صورت خطوط راست ظاهر می شوند و محاسبات ساده تر می گردند.
در آنالیز تانسوری روی گروه های لی، نگاشت نمایی
\[ \exp:\mathfrak{g}\to G \]از جبر لی به گروه لی، نقش اساسی در مطالعه ی ساختار گروه و نمایش ها دارد. برای گروه های ماتریسی، این همان نمایی ماتریسی است که با سری توانی
\[ \exp(A)=\sum_{n=0}^\infty \frac{A^n}{n!} \]تعریف می شود.
نگاشت نمایی در نظریه ی اتصالات (connections) نیز برای تعریف ترابری موازی (parallel transport) در طول ژئودزیک ها به کار می رود. همچنین در معادلات دیفرانسیل روی منیفلدها، شار یک میدان برداری با استفاده از نمایی (در مفهوم فلو) نمایش داده می شود.
در فیزیک، نمایی تانسورها برای مدل سازی تغییرشکل های الاستیک غیرخطی (مانند مواد هایپرالاستیک) استفاده می شود، جایی که تانسور کرنش به صورت نمایی از تانسور تغییرشکل بیان می گردد.
\[ \exp: \mathfrak{g} \to G \quad,\quad \exp_p: T_pM \to M \quad,\quad \exp(A) = \sum_{n=0}^\infty \frac{A^n}{n!} \]✏️ مثال: برای
\[ G=SO(3) \]،
\[ \exp \]یک ماتریس پادمتقارن (عضو جبر لی) را به یک ماتریس دوران تبدیل می کند. روی
\[ \mathbb{R}^n \]،
\[ \exp_p(v)=p+v \].
