نگاشت شکل (Shape Operator)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :

نگاشت شکل (Shape Operator) :

در هندسه دیفرانسیل رویه ها، عملگر شکل (shape operator) یا عملگر واین گارتن (Weingarten map) یک عملگر خطی خودالحاق (self-adjoint) روی فضای مماس یک رویه است که نحوه ی تغییر بردار نرمال در طول رویه را توصیف می کند. اگر

\[ \mathcal{G}:M\to S^2 \]

نگاشت گاوس باشد، آن گاه عملگر شکل

\[ S_p:T_pM\to T_pM \]

به صورت

\[ S_p(v) = -d\mathcal{G}_p(v) \]

تعریف می شود (علامت منفی بسته به قرارداد ممکن است تغییر کند).

این عملگر اطلاعات کامل درباره ی خمیدگی موضعی رویه را در بر دارد. مقادیر ویژه ی

\[ S_p \]

انحناهای اصلی (principal curvatures)

\[ \kappa_1 \]

و

\[ \kappa_2 \]

نامیده می شوند. میانگین آن ها انحنای میانگین (mean curvature)

\[ H = \frac{\kappa_1+\kappa_2}{2} \]

و دترمینان آن ها انحنای گاوسی (Gaussian curvature)

\[ K = \kappa_1\kappa_2 \]

است.

عملگر شکل در مطالعه ی رویه های کمینه (که در آن

\[ H=0 \]

) و رویه های با انحنای ثابت اهمیت دارد. همچنین در فیزیک، در نظریه ی غشاها (membrane theory) و کشش سطحی ظاهر می شود.

در مختصات موضعی، عملگر شکل با ماتریسی نمایش داده می شود که به مشتقات دوم پارامترسازی وابسته است. قضیه ی اصلی رویه ها (fundamental theorem of surfaces) می گوید که فرم بنیادی اول (متریک) و عملگر شکل (فرم بنیادی دوم) رویه را تا یک حرکت صلب تعیین می کنند.

برای ابررویه ها در

\[ \mathbb{R}^{n+1} \]

، عملگر شکل نیز تعریف می شود و مقادیر ویژه ی آن انحناهای اصلی هستند.

\[ S_p(v) = -\nabla_v N \quad,\quad S: T_pM \to T_pM \text{ self-adjoint} \]

✏️ مثال: برای کره ی به شعاع

\[ R \]

با نرمال خروجی، عملگر شکل

\[ S_p = \frac{1}{R} I \]

است (انحناهای اصلی برابر

\[ 1/R \]

). برای استوانه، عملگر شکل یک انحنای اصلی صفر و دیگری

\[ 1/R \]

دارد.