نگاشت گاوس (Gauss Map)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :
نگاشت گاوس (Gauss Map) :
در هندسه دیفرانسیل رویه ها، نگاشت گاوس (Gauss map) یک نگاشت از یک رویه ی جهت دار در
\[ \mathbb{R}^3 \]به کره ی یکه
\[ S^2 \]است که به هر نقطه از رویه، بردار نرمال یکه ی آن را نسبت می دهد. به طور دقیق، اگر
\[ M\subset\mathbb{R}^3 \]یک رویه ی هموار با نرمال یکه ی
\[ N(p) \]باشد، آن گاه نگاشت گاوس
\[ \mathcal{G}:M\to S^2 \]به صورت
\[ \mathcal{G}(p)=N(p) \]تعریف می شود.
این نگاشت اطلاعات مهمی درباره ی خمیدگی رویه ارائه می دهد. مشتق نگاشت گاوس (یعنی
\[ d\mathcal{G}_p:T_pM\to T_{\mathcal{G}(p)}S^2 \]) عملگر شکل (shape operator) یا واین گارتن (Weingarten map) نامیده می شود. مقادیر ویژه ی این عملگر، انحناهای اصلی (principal curvatures) و دترمینان آن، انحنای گاوسی (Gaussian curvature) را به دست می دهد.
نگاشت گاوس می تواند برای مطالعه ی خواص سراسری رویه ها نیز به کار رود. برای مثال، قضیه ی گاوس-بونه (Gauss-Bonnet theorem) ارتباط بین انحنای گاوسی و ویژگی اویلر (Euler characteristic) رویه را بیان می کند. همچنین، تصویر نگاشت گاوس می تواند اطلاعاتی درباره ی تعداد نقاط کروی (umbilical points) بدهد.
در نظریه ی رویه های کمینه (minimal surfaces)، نگاشت گاوس یک تابع هولومورفیک (در دستگاه مختصات همدیس) است و این خاصیت برای طبقه بندی رویه های کمینه به کار می رود.
تعمیم نگاشت گاوس به ابعاد بالاتر (برای ابررویه ها در
\[ \mathbb{R}^{n+1} \]) نیز وجود دارد که به هر نقطه، بردار نرمال یکه را نسبت می دهد و به کره ی
\[ S^n \]می رود.
\[ \mathcal{G}: M \to S^2 \quad,\quad \mathcal{G}(p) = N(p) \]✏️ مثال: برای کره ی
\[ S^2 \]با نرمال خروجی، نگاشت گاوس همان نگاشت همانی است (با تغییر علامت). برای استوانه، نگاشت گاوس تصویر استوانه را به یک دایره ی بزرگ روی کره می برد (نقاط با نرمال افقی).
