نگاشت تابع ارتفاع (Height Function)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :

نگاشت تابع ارتفاع (Height Function) :

تابع ارتفاع (height function) روی یک منیفلد که در یک فضای اقلیدسی غوطه ور شده، تابعی است که مقدار آن در هر نقطه برابر ارتفاع (مختصات) در یک جهت ثابت (معمولا جهت قائم) است. اگر

\[ M\subset\mathbb{R}^{n+1} \]

یک زیرمنیفلد

\[ n \]

-بعدی باشد، تابع ارتفاع در جهت بردار یکه

\[ v\in S^n \]

به صورت

\[ h_v(p)=\langle p,v\rangle \]

(ضرب داخلی) تعریف می شود.

توابع ارتفاع در نظریه ی مورس (Morse theory) اهمیت زیادی دارند، زیرا برای یک غوطه وری عمومی (generic immersion) از یک منیفلد فشرده در فضای اقلیدسی، تابع ارتفاع یک تابع مورس است (یعنی نقاط بحرانی آن غیرتکین هستند). این نقاط بحرانی دقیقا نقاطی هستند که فضای مماس بر

\[ M \]

بر

\[ v \]

عمود است.

با تغییر جهت

\[ v \]

، می توان اطلاعاتی درباره ی توپولوژی

\[ M \]

به دست آورد. برای مثال، روی یک رویه ی فشرده در

\[ \mathbb{R}^3 \]

، تابع ارتفاع در یک جهت کلی (generic direction) دارای تعداد متناهی نقطه ی بحرانی (مینیمم، ماکزیمم، زین) است که با نظریه ی مورس به اعداد بتی (Betti numbers) مرتبط می شود.

در فیزیک، تابع ارتفاع در مسائل مربوط به انرژی پتانسیل (مانند سطح انرژی پتانسیل یک مولکول) ظاهر می شود. در بینایی کامپیوتر، تابع ارتفاع برای تحلیل شکل اجسام سه بعدی استفاده می شود.

همچنین در هندسه ی دیفرانسیل، تابع ارتفاع برای تعریف نگاشت گاوس (Gauss map) به کار می رود، زیرا گرادیان تابع ارتفاع در هر نقطه، بردار نرمال را می دهد.

\[ h_v: M \to \mathbb{R} \quad,\quad h_v(p) = \langle p, v \rangle \]

✏️ مثال: روی کره ی

\[ S^2 \]

با معادله

\[ x^2+y^2+z^2=1 \]

، تابع ارتفاع در جهت

\[ z \]

برابر

\[ h(x,y,z)=z \]

است. نقاط بحرانی: قطب شمال (ماکزیمم) و قطب جنوب (مینیمم). در جهت های دیگر نیز نقاط بحرانی ایزوله اند.