نگاشت پوانکاره (Poincaré Map)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :
نگاشت پوانکاره (Poincaré Map) :
در نظریه ی سیستم های دینامیکی، نگاشت پوانکاره (Poincaré map) یا نگاشت بازگشت (return map) ابزاری برای مطالعه ی رفتار مدارهای تناوبی و کیفی سیستم های دینامیکی است. این نگاشت با در نظر گرفتن یک مقطع عرضی (transverse section) به مدار تناوبی تعریف می شود: هر بار که مسیر از این مقطع عبور می کند، نقطه ی برخورد ثبت می شود و نگاشت پوانکاره، نقطه ی برخورد فعلی را به نقطه ی برخورد بعدی می نگارد.
به طور دقیق، فرض کنید
\[ \gamma \]یک مدار تناوبی از یک میدان برداری
\[ X \]روی منیفلد
\[ M \]باشد. یک ابررویه ی
\[ S \](به اصطلاح مقطع پوانکاره) را در نظر می گیریم که با
\[ \gamma \]در یک نقطه
\[ p \]متقاطع بوده و به
\[ X \]عرضی باشد (یعنی
\[ X \]در هیچ نقطه ای از
\[ S \]مماس بر
\[ S \]نباشد). آن گاه برای نقاط
\[ x\in S \]نزدیک
\[ p \]، مسیر گذرنده از
\[ x \]پس از مدتی به
\[ S \]بازمی گردد و اولین نقطه ی بازگشت را
\[ P(x) \]می نامیم. نگاشت
\[ P \](که در یک همسایگی از
\[ p \]تعریف شده) را نگاشت پوانکاره می نامند.
این نگاشت، سیستم دینامیکی پیوسته را به یک سیستم دینامیکی گسسته تبدیل می کند و مطالعه ی پایداری مدار تناوبی را به مطالعه ی نقاط ثابت نگاشت پوانکاره تقلیل می دهد. پایداری مدار تناوبی با مقادیر ویژه ی مشتق
\[ DP(p) \](ضرایب فلوکه) تعیین می شود.
نگاشت پوانکاره در مسائل مهندسی (مدارهای الکتریکی نوسانی)، مکانیک سماوی (مسیر سیارک ها)، و دینامیک سیالات کاربرد فراوان دارد. در سیستم های همیلتونی، نگاشت پوانکاره معمولا یک نگاشت هم تافته (symplectic) است.
\[ P: S \to S \quad,\quad P(x) = \text{اولین بازگشت به } S \]✏️ مثال: برای آونگ میرا، می توان یک مقطع عرضی در صفحه ی فاز انتخاب کرد. برای نوسانگر ون در پل، نگاشت پوانکاره می تواند وجود یک مدار تناوبی پایدار (سیکل حدی) را نشان دهد.
