نگاشت فلو (Flow Map)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :
نگاشت فلو (Flow Map) :
در نظریه ی سیستم های دینامیکی، نگاشت فلو (flow map) خانوادگی از نگاشت هاست که تحول یک سیستم دینامیکی را در طول زمان توصیف می کند. اگر یک میدان برداری
\[ X \]روی یک منیفلد
\[ M \]داشته باشیم، فلو (جریان) یک خانواده ی یک پارامتری از دی فئومورفیسم ها
\[ \Phi_t:M\to M \]است که برای هر
\[ t \](در یک بازه) تعریف شده و دارای خواص زیر است:
\[ \Phi_0 = \text{id} \]،
\[ \Phi_s \circ \Phi_t = \Phi_{s+t} \](خاصیت گروهی) و
\[ \frac{d}{dt}\Phi_t(p) = X(\Phi_t(p)) \]. به این معنی که
\[ \Phi_t(p) \]منحنی انتگرال گذرنده از
\[ p \]در زمان
\[ t \]است.
نگاشت فلو برای یک
\[ t \]ثابت، یک دی فئومورفیسم (معمولا) از
\[ M \]به خودش است. این نگاشت ها برای مطالعه ی رفتار بلندمدت سیستم های دینامیکی، نقاط ثابت، مدارهای تناوبی، و پایداری به کار می روند.
در نظریه ی معادلات دیفرانسیل معمولی، فلو به عنوان جواب دستگاه معادلات دیفرانسیل با شرایط اولیه تعریف می شود. اگر میدان بردادی
\[ X \]به طور کامل (complete) باشد، فلو برای همه ی
\[ t\in\mathbb{R} \]تعریف می شود.
در مکانیک همیلتونی، فلو توسط میدان برداری همیلتونی تولید می شود و ساختار سیمپلکتیک را حفظ می کند (یعنی یک سیمپلکتومورفیسم است). در مکانیک سیالات، فلو به حرکت ذرات سیال اشاره دارد.
نگاشت فلو همچنین در نظریه ی کنترل و سیستم های دینامیکی گسسته (که در آن
\[ t \]گسسته است) ظاهر می شود و به عنوان نگاشت پوانکاره (Poincaré map) برای کاهش بعد سیستم استفاده می شود.
\[ \Phi_t: M \to M \quad,\quad \Phi_0 = id,\; \Phi_{s+t} = \Phi_s \circ \Phi_t \]✏️ مثال: برای معادله ی ساده ی
\[ \dot{x}=x \]روی
\[ \mathbb{R} \]، فلو برابر
\[ \Phi_t(x)=x e^t \]است. برای آونگ ساده، فلو روی فضای فاز
\[ (q,p) \]حرکت در طول مدارهای انرژی ثابت را توصیف می کند.
