نگاشت انتگرال گیر (Integral Map)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :

نگاشت انتگرال گیر (Integral Map) :

اصطلاح «نگاشت انتگرال گیر» (integral map) معمولا به دو مفهوم اشاره دارد: یکی در آنالیز تابعی (عملگرهای انتگرالی) و دیگری در نظریه ی معادلات دیفرانسیل (منحنی های انتگرال).

در آنالیز تابعی، یک عملگر انتگرالی (integral operator)

\[ T \]

به صورت

\[ (Tf)(x) = \int K(x,y) f(y) \, dy \]

تعریف می شود که

\[ K \]

هسته ی انتگرال نامیده می شود. این عملگرها در حل معادلات انتگرالی (مانند معادلات فرِدهولم و ولترا) و در نظریه ی طیفی اهمیت دارند. برای مثال، عملگر لاپلاس معکوس (گرین) اغلب یک عملگر انتگرالی است.

در نظریه ی معادلات دیفرانسیل معمولی، یک منحنی انتگرال (integral curve) برای یک میدان برداری

\[ X \]

روی منیفلد، خمی است که بردار مماس آن در هر نقطه با

\[ X \]

منطبق است. شار (flow) این میدان برداری، خانواده ای از نگاشت های انتگرال گیر را تشکیل می دهد:

\[ \Phi_t(p) \]

نقطه ای است که پس از زمان

\[ t \]

با حرکت در طول منحنی انتگرال گذرنده از

\[ p \]

به آن می رسیم. این نگاشت ها دی فئومورفیسم های موضعی (و گاهی سراسری) هستند.

در هندسه دیفرانسیل، انتگرال گیری روی منیفلدها با استفاده از فرم های دیفرانسیلی انجام می شود و قضیه ی استوکس (Stokes' theorem) ارتباط بین انتگرال روی مرز و روی خود منیفلد را برقرار می کند.

در فیزیک، انتگرال گیرها در مکانیک کوانتومی (عملگر تکامل) و نظریه ی میدان کاربرد دارند.

\[ (Tf)(x) = \int K(x,y) f(y) dy \quad,\quad \Phi_t = \text{flow of vector field} \]

✏️ مثال: عملگر لاپلاس روی دامنه ی کراندار با شرایط مرزی دیریکله، یک عملگر انتگرالی با هسته ی گرین است. شار میدان برداری

\[ X(x,y)=(-y,x) \]

در

\[ \mathbb{R}^2 \]

، دوران با سرعت زاویه ای ۱ است:

\[ \Phi_t(x,y) = (x\cos t - y\sin t, x\sin t + y\cos t) \]

.