نگاشت ژئودزیکی (Geodesic Map)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :

نگاشت ژئودزیکی (Geodesic Map) :

نگاشت ژئودزیکی (geodesic map) یک نگاشت بین منیفلدهای ریمانی (یا منیفلدهای با اتصال) است که ژئودزیک ها را به ژئودزیک ها می برد. به طور دقیق،

\[ f:M\to N \]

یک نگاشت ژئودزیکی است اگر برای هر ژئودزیک

\[ \gamma \]

در

\[ M \]

(پارامتری با پارامتر متناسب با طول کمان)،

\[ f\circ\gamma \]

یک ژئودزیک در

\[ N \]

باشد (پس از یک تغییر پارامتر مناسب).

این مفهوم تعمیم ایزومتری است، زیرا ایزومتری ها ژئودزیک ها را به ژئودزیک ها با همان پارامتر می برند. اما یک نگاشت ژئودزیکی لزوما طول را حفظ نمی کند. مثال مهم: تصویر (projection) از یک حاصلضرب ریمانی روی یکی از عامل ها یک نگاشت ژئودزیکی است.

در نسبیت عام، نگاشت های ژئودزیکی برای مطالعه ی ساختار سببی (causal structure) و نگاشت های همدیس (conformal maps) که مخروط نوری را حفظ می کنند، اهمیت دارند. یک نگاشت همدیس، ژئودزیک های نورگونه را به ژئودزیک های نورگونه می برد.

در هندسه دیفرانسیل، مطالعه ی نگاشت های ژئودزیکی به نظریه ی اتصالات (connections) و انحنای پروژکتیو (projective curvature) منجر می شود. دو متریک که ژئودزیک های یکسانی دارند (پس از تغییر پارامتر) از نظر پروژکتیو معادل نامیده می شوند.

نگاشت های ژئودزیکی در فیزیک برای تبدیل های وابستگی (affine transformations) و در نظریه ی کنترل برای سیستم های ژئودزیکی به کار می روند.

\[ \gamma \text{ geodesic in } M \implies f\circ\gamma \text{ geodesic in } N \text{ (after reparametrization)} \]

✏️ مثال:

\[ f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m \]

با

\[ f(x_1,\dots,x_n)=(x_1,\dots,x_m) \]

(برای

\[ m\le n \]

) یک نگاشت ژئودزیکی است (زیرا خطوط را به خطوط می برد).

\[ f:S^2\to\mathbb{R}P^2 \]

(نگاشت کره به صفحه ی تصویری) ژئودزیک ها را به ژئودزیک ها می برد.