نگاشت نمایی روی منیفلد (Exponential Map on a Manifold)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :
نگاشت نمایی روی منیفلد (Exponential Map on a Manifold) :
در هندسه ریمانی، نگاشت نمایی (exponential map) در یک نقطه
\[ p \]از منیفلد
\[ M \]، یک نگاشت
\[ \exp_p:T_pM\to M \]است که هر بردار مماس
\[ v \]را به نقطه ای در
\[ M \]می برد که با حرکت در طول ژئودزیک منحصربه فردی که از
\[ p \]با سرعت اولیه
\[ v \]شروع می شود، پس از زمان ۱ به آن می رسیم. به طور دقیق، اگر
\[ \gamma_v(t) \]ژئودزیک با
\[ \gamma_v(0)=p \]و
\[ \dot{\gamma}_v(0)=v \]باشد، آن گاه
\[ \exp_p(v)=\gamma_v(1) \].
این نگاشت نقش بنیادی در هندسه ریمانی دارد. در یک همسایگی مناسب از مبدأ در
\[ T_pM \]،
\[ \exp_p \]یک دی فئومورفیسم بر روی یک همسایگی از
\[ p \]در
\[ M \]است (به نام مختصات نرمال). این مختصات برای ساده سازی محاسبات انحنا و سایر کمیت های هندسی استفاده می شوند.
نگاشت نمایی همچنین در نظریه ی گروه های لی (Lie groups) ظاهر می شود، جایی که
\[ \exp:\mathfrak{g}\to G \]از جبر لی به گروه لی، نگاشتی است که با استفاده از شار میدان های برداری پایاچپ (left-invariant) تعریف می شود. این نگاشت برای گروه های ماتریسی، همان نمایی ماتریسی (matrix exponential) است.
در فیزیک، نگاشت نمایی در نسبیت عام برای مطالعه ی ژئودزیک ها و در مکانیک کوانتومی برای عملگرهای تحول زمانی استفاده می شود.
خاصیت مهم:
\[ \exp_p(0)=p \]و
\[ d\exp_p(0) = \text{id}_{T_pM} \].
\[ \exp_p: T_pM \to M \quad,\quad \exp_p(v) = \gamma_v(1) \]✏️ مثال: روی کره
\[ S^2 \]با متر استاندارد،
\[ \exp_p(v) \]نقطه ای است که با حرکت در امتداد دایره ی بزرگ به اندازه ی
\[ \|v\| \]در جهت
\[ v \]به دست می آید. روی
\[ \mathbb{R}^n \]،
\[ \exp_p(v)=p+v \].
