نگاشت عقب بر (Pullback Map)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :
نگاشت عقب بر (Pullback Map) :
در هندسه دیفرانسیل و آنالیز تابعی، pullback یک نگاشت خطی است که برعکس pushforward عمل می کند و اشیاء (مانند فرم های دیفرانسیلی، تانسورها، توابع) را از فضای مقصد به فضای مبدأ منتقل می کند. اگر
\[ f:M\to N \]یک نگاشت هموار باشد، pullback یک فرم دیفرانسیلی
\[ \omega \]روی
\[ N \]، یک فرم دیفرانسیلی
\[ f^*\omega \]روی
\[ M \]است که برای هر
\[ p\in M \]و
\[ v_1,\dots,v_k\in T_pM \]به صورت
\[ (f^*\omega)_p(v_1,\dots,v_k) = \omega_{f(p)}(df_p(v_1),\dots,df_p(v_k)) \]تعریف می شود.
برای توابع (فرم های درجه ۰)، pullback برابر ترکیب ساده است:
\[ f^*g = g\circ f \].
این مفهوم نقش اساسی در انتگرال گیری روی منیفلدها (تغییر متغیر) و مطالعه ی خواص ناوردایی دارد. برای مثال، در مکانیک لاگرانژی، تغییر مختصات از طریق pullback تانسورها انجام می شود.
در توپولوژی جبری، pullback در کوهمولوژی (cohomology) به عنوان یک همومورفیسم
\[ f^*:H^*(N)\to H^*(M) \]عمل می کند که اطلاعاتی درباره ی نگاشت
\[ f \]ارائه می دهد.
در نظریه ی میدان، pullback برای انتقال میدان ها تحت دی فئومورفیسم ها به کار می رود. رابطه ی مهم بین pushforward و pullback توسط فرمول
\[ (f_* v) \lrcorner \omega = v \lrcorner (f^*\omega) \](انقباض داخلی) داده می شود.
\[ (f^*\omega)_p(v_1,\dots,v_k) = \omega_{f(p)}(f_*v_1,\dots,f_*v_k) \]✏️ مثال: اگر
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2 \]با
\[ f(t)=(\cos t,\sin t) \]و
\[ \omega = x\,dy - y\,dx \]روی
\[ \mathbb{R}^2 \]، آن گاه
\[ f^*\omega = \cos t \, d(\sin t) - \sin t \, d(\cos t) = dt \].
