نگاشت بردار مماس (Tangent Map / Pushforward)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :
نگاشت بردار مماس (Tangent Map / Pushforward) :
در هندسه دیفرانسیل، نگاشت بردار مماس (tangent map) یا pushforward که با
\[ f_* \]یا
\[ df \]نشان داده می شود، یک نگاشت خطی بین فضاهای مماس است که توسط یک نگاشت هموار
\[ f:M\to N \]القا می شود. برای هر نقطه
\[ p\in M \]،
\[ df_p:T_pM\to T_{f(p)}N \]به این صورت تعریف می شود که اگر
\[ v\in T_pM \]یک بردار مماس باشد (که به عنوان یک عملگر مشتق گیری روی توابع عمل می کند)، آن گاه
\[ df_p(v) \]بردار مماسی در
\[ T_{f(p)}N \]است که روی تابع
\[ g:N\to\mathbb{R} \]به صورت
\[ df_p(v)(g) = v(g\circ f) \]عمل می کند.
این مفهوم اساسی در حسابان روی منیفلدهاست و تعمیم مشتق در حالت چندمتغیره است. در مختصات موضعی،
\[ df_p \]با ماتریس ژاکوبی
\[ J_f \]نمایش داده می شود.
اگر
\[ f \]یک دی فئومورفیسم باشد،
\[ df_p \]یک یکریختی خطی است. اگر
\[ f \]یک غوطه وری (immersion) باشد،
\[ df_p \]یک به یک (injective) است. اگر
\[ f \]یک زیروردی (submersion) باشد،
\[ df_p \]پوشا (surjective) است.
نگاشت مماس همچنین برای تعریف فانکتور مشتق (tangent functor) در رسته ی منیفلدهای هموار به کار می رود و به طور طبیعی با pullback (که بر روی فرم های دیفرانسیلی عمل می کند) جفت می شود.
در فیزیک، pushforward برای انتقال میدان های برداری تحت دی فئومورفیسم ها (مثلا در نسبیت عام) استفاده می شود.
\[ f_*: T_pM \to T_{f(p)}N \quad,\quad (f_* v)(g) = v(g\circ f) \]✏️ مثال: اگر
\[ f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 \]با
\[ f(x,y)=(u(x,y),v(x,y)) \]، آن گاه
\[ df_{(x,y)} \]با ماتریس
\[ \begin{bmatrix} u_x & u_y \\ v_x & v_y \end{bmatrix} \]نمایش داده می شود.
