نگاشت مورس-بات (Morse-Bott Map)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :

نگاشت مورس-بات (Morse-Bott Map) :

نگاشت مورس-بات (Morse-Bott function) تعمیمی از تابع مورس است که در آن مجموعه ی نقاط بحرانی می تواند زیرمنیفلدهایی (نه فقط نقاط ایزوله) باشد. به طور دقیق، یک تابع هموار

\[ f:M\to\mathbb{R} \]

مورس-بات نامیده می شود اگر مجموعه ی نقاط بحرانی

\[ \text{Crit}(f) \]

یک زیرمنیفلد از

\[ M \]

باشد و هسی (Hessian) در راستای عمود بر این زیرمنیفلد غیرتکین باشد.

این مفهوم توسط ریچی (Raoul Bott) معرفی شد و کاربردهای مهمی در توپولوژی و هندسه دارد. برای مثال، تابع انرژی روی حلقه های یک منیفلد (مانند فضای لوپ ها) معمولا مورس-بات است، زیرا نقاط بحرانی (ژئودزیک های بسته) ممکن است به صورت خانواده هایی از ژئودزیک ها ظاهر شوند.

در نظریه ی مورس-بات، می توان با استفاده از دنباله های طیفی (spectral sequences) اطلاعات توپولوژیکی منیفلد را از روی مجموعه های بحرانی استخراج کرد. این روش برای فضاهای با ابعاد بالا (مانند فضای لوپ ها) بسیار مفید است.

کاربردهای دیگر در مطالعه ی تقارن ها (symmetries) و عمل گروه ها روی منیفلدها دیده می شود. اگر یک گروه لی فشرده روی

\[ M \]

عمل کند و

\[ f \]

پایا تحت این عمل باشد، معمولا

\[ f \]

یک تابع مورس-بات است.

در فیزیک، توابع مورس-بات در نظریه ی میدان های پیمانه ای و نظریه ی ریسمان ظاهر می شوند.

\[ \text{Crit}(f) = \bigcup_i N_i \quad,\quad \text{Hessian transverse to } N_i \text{ non-degenerate} \]

✏️ مثال: تابع

\[ f:S^2\to\mathbb{R} \]

با

\[ f(x,y,z)=z^2 \]

(نقاط بحرانی: استوا

\[ z=0 \]

(مینیمم) و قطب ها

\[ z=\pm1 \]

(ماکزیمم)) یک تابع مورس-بات است (استوا یک زیرمنیفلد از نقاط بحرانی است).