نگاشت مورس (Morse Function/Map)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :
نگاشت مورس (Morse Function/Map) :
تابع مورس (Morse function) یک تابع هموار
\[ f:M\to\mathbb{R} \]روی یک منیفلد هموار
\[ M \]است که همه ی نقاط بحرانی (نقاطی که
\[ df=0 \]) آن غیرتکین (non-degenerate) باشند. به عبارت دیگر، در هر نقطه ی بحرانی، ماتریس هسی (Hessian) معکوس پذیر است. این نقاط بحرانی ایزوله هستند و می توان آنها را با اندیس (index) که برابر تعداد جهت هایی است که تابع کاهشی است، طبقه بندی کرد.
نظریه ی مورس (Morse theory) ارتباط عمیقی بین نقاط بحرانی یک تابع مورس و توپولوژی منیفلد برقرار می کند. با حرکت در امتداد منیفلد و عبور از نقاط بحرانی، سلول هایی به منیفلد چسبانده می شوند و در نهایت ساختار CW-complex منیفلد را به دست می دهد. نامساوی های مورس (Morse inequalities) کران هایی برای اعداد بتی (Betti numbers) بر حسب تعداد نقاط بحرانی ارائه می دهند.
کاربردهای نظریه ی مورس در توپولوژی دیفرانسیل، هندسه، فیزیک (نظریه ی ریسمان) و حتی در بینایی کامپیوتر (برای بازیابی شکل) وجود دارد.
یک تابع مورس همیشه روی هر منیفلد فشرده وجود دارد (مجموعه ی توابع مورس چگال است). تابع ارتفاع روی یک منیفلد که در یک فضای اقلیدسی غوطه ور شده، معمولا یک تابع مورس است (به جز موارد خاص).
تعمیم مفهوم به نگاشت های مورس (Morse maps) به نگاشت های
\[ f:M\to N \]گفته می شود که در آن نقاط بحرانی به طور مشابه تعریف می شوند.
\[ \text{Hessian at critical points non-degenerate} \quad,\quad \text{index}(p) = \#\{\text{negative eigenvalues}\} \]✏️ مثال:
\[ f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} \]با
\[ f(x,y)=x^2+y^2 \](یک نقطه ی بحرانی در مبدأ با اندیس ۰).
\[ f(x,y)=x^2-y^2 \](نقطه ی بحرانی از نوع زین با اندیس ۱). تابع ارتفاع روی کره
\[ S^2 \]دو نقطه ی بحرانی دارد (مینیمم و ماکزیمم).
