نگاشت الحاقی (Adjunction Map)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :

نگاشت الحاقی (Adjunction Map) :

در ریاضیات، نگاشت الحاقی (adjunction map) مفهومی است که در زمینه های مختلف ظاهر می شود. در جبر خطی، الحاق یک عملگر (adjoint of an operator) نسبت به یک فرم دوخطی (مانند ضرب داخلی) تعریف می شود. برای یک عملگر خطی

\[ T:V\to W \]

بین فضاهای ضرب داخلی، عملگر الحاقی

\[ T^*:W\to V \]

با ویژگی

\[ \langle T v, w\rangle = \langle v, T^* w\rangle \]

برای همه

\[ v\in V,w\in W \]

تعریف می شود.

در نظریه رسته ها (category theory)، مفهوم الحاق (adjunction) بین دو رسته، یک جفت از فانکتورهاست که رابطه ای خاص دارند. این مفهوم بسیار بنیادی است و در تمام شاخه های ریاضی ظاهر می شود. برای مثال، فانکتور آزاد (free functor) و فانکتور فراموشکار (forgetful functor) یک جفت الحاقی را تشکیل می دهند.

در هندسه جبری، نگاشت الحاقی (adjunction map) به نگاشت هایی گفته می شود که با استفاده از فرم های دیفرانسیلی و قضیه ی الحاق (adjunction formula) برای مطالعه ی خم ها و رویه ها به کار می روند. فرمول الحاق، جنس یک خم را روی یک رویه به کلاس کانونی (canonical class) مرتبط می کند.

در آنالیز تابعی، عملگرهای الحاقی نقش اساسی در مطالعه ی فضاهای هیلبرت و نظریه ی طیفی دارند. عملگرهای خودالحاق (self-adjoint) که

\[ T=T^* \]

هستند، خواص مهمی مانند طیف حقیقی و قابلیت قطری سازی دارند.

در نظریه گروه ها، نمایش الحاقی (adjoint representation) یک گروه لی، عمل گروه روی جبر لی خودش از طریق کوموتاتور است.

\[ \langle T v, w \rangle = \langle v, T^* w \rangle \quad,\quad F \dashv G \quad(\text{adjunction in category theory}) \]

✏️ مثال: در

\[ \mathbb{R}^n \]

با ضرب داخلی استاندارد، الحاق یک ماتریس

\[ A \]

برابر ترانهاده ی آن

\[ A^T \]

است. جفت فانکتورهای

\[ \text{Free} \dashv \text{Forgetful} \]

بین رسته ی مجموعه ها و گروه ها یک الحاق است.