نگاشت هم ریختی (Biholomorphic Map)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :

نگاشت هم ریختی (Biholomorphic Map) :

در آنالیز مختلط و هندسه مختلط، یک نگاشت بی هولومورفیک (biholomorphic) معادل دی فئومورفیسم برای منیفلدهای مختلط است. یک نگاشت

\[ f:M\to N \]

بین منیفلدهای مختلط، بی هولومورفیک نامیده می شود اگر یک نگاشت هولومورفیک (تحلیلی مختلط) دوسویه با معکوس هولومورفیک باشد. این قوی ترین مفهوم یکسانی برای ساختارهای مختلط است.

در صفحه ی مختلط، یک تابع بی هولومورفیک از یک ناحیه به ناحیه ی دیگر، یک نگاشت هم ریخت (biholomorphic) نامیده می شود. برای مثال، نگاشت

\[ f(z)=z^2 \]

از نیم صفحه ی بالایی به صفحه ی شکاف دار (branch cut) بی هولومورفیک نیست (چون دوسویه نیست). اما

\[ f(z)=e^z \]

از نوار افقی به یک ناحیه ی حلقوی بی هولومورفیک است.

در نظریه ی توابع مختلط، نگاشت های بی هولومورفیک زاویه ها را حفظ می کنند (هم نما هستند) و مشتق آن ها هرگز صفر نیست. قضیه ی مهم نگاشت ریمان (Riemann mapping theorem) بیان می کند که هر ناحیه ی همبند ساده و غیربدیهی در

\[ \mathbb{C} \]

(به جز خود

\[ \mathbb{C} \]

) با قرص واحد بی هولومورفیک است.

در هندسه مختلط، بی هولومورفیسم ها برای مطالعه ی سطوح ریمانی (منیفلدهای مختلط یک بعدی) و واریته های مختلط با بعد بالاتر به کار می روند. دو منیفلد مختلط که بی هولومورفیک باشند، از نظر ساختار مختلط یکسان هستند.

بی هولومورفیسم ها همچنین در نظریه ی دینامیک مختلط برای طبقه بندی حوزه های صید (capture domains) و مطالعه ی مجموعه های ژولیا و مندلبرو به کار می روند.

\[ f \text{ holomorphic bijection with holomorphic inverse} \]

✏️ مثال:

\[ f:\mathbb{D}\to\mathbb{D} \]

با

\[ f(z)=\frac{z-a}{1-\overline{a}z} \]

(نگاشت موبیوس) یک بی هولومورفیسم از قرص واحد به خودش است.

\[ f:\mathbb{C}\to\mathbb{C} \]

با

\[ f(z)=z+1 \]

نیز بی هولومورفیک است.