نگاشت یکریختی (Diffeomorphism)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :
نگاشت یکریختی (Diffeomorphism) :
یک دی فئومورفیسم (diffeomorphism) یک یکریختی (isomorphism) در رسته ی منیفلدهای هموار (DIFF) است. یعنی
\[ f:M\to N \]یک دی فئومورفیسم است اگر یک نگاشت هموار دوسویه با معکوس هموار باشد. این قوی ترین مفهوم معادل بودن دو منیفلد هموار است.
شرط لازم برای دی فئومورفیسم بودن این است که
\[ f \]یک هومئومورفیسم باشد و مشتق
\[ df_p \]در هر نقطه یکریخت خطی (یعنی ماتریس ژاکوبی معکوس پذیر) باشد. با این حال، این شرط موضعی کافی نیست؛ برای مثال، نگاشت
\[ f:\mathbb{R}\to S^1 \]با
\[ f(t)=e^{2\pi i t} \]موضعا دی فئومورفیسم است اما سراسری یک به یک نیست و بنابراین دی فئومورفیسم نیست.
دی فئومورفیسم ها خواص هندسی مانند انحنا، طول، و زاویه را حفظ نمی کنند (مگر اینکه ایزومتری باشند)، اما ساختار دیفرانسیل را حفظ می کنند. به همین دلیل، دو منیفلد دی فئومورفیک از نظر حسابان یکسان هستند.
در فیزیک، دی فئومورفیسم ها نقش مهمی در نسبیت عام دارند، جایی که معادلات اینشتین تحت هر دی فئومورفیسم (هموردایی) ناوردا هستند. این به معنای استقلال از دستگاه مختصات است.
مثال کلاسیک: بازه
\[ (-1,1) \]با
\[ \mathbb{R} \]دی فئومورفیک است (با
\[ f(t)=\tan(\frac{\pi t}{2}) \]). همچنین، کره ی
\[ S^2 \]با بیضی گون دی فئومورفیک است.
\[ f: M \xrightarrow{\sim} N \quad,\quad f \text{ smooth, bijective, } f^{-1} \text{ smooth} \]✏️ مثال:
\[ f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 \]با
\[ f(x,y)=(e^x \cos y, e^x \sin y) \]یک دی فئومورفیسم از
\[ \mathbb{R}^2 \]به
\[ \mathbb{R}^2\setminus\{0\} \]نیست (چون پوشا نیست).
\[ f(x)=x^3 \]یک دی فئومورفیسم از
\[ \mathbb{R} \]به خودش است (چون معکوس
\[ f^{-1}(y)=\sqrt[3]{y} \]هموار است).
