نگاشت ریختی (Isomorphism)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :

نگاشت ریختی (Isomorphism) :

در جبر و سایر شاخه های ریاضی، یک یکریختی (isomorphism) یک نگاشت دوسویه (bijection) است که ساختارهای جبری (یا هر ساختار ریاضی) را حفظ می کند. به عبارت دقیق، اگر دو شیء

\[ X \]

و

\[ Y \]

در یک رسته (category) داشته باشیم، یک ریختار (morphism)

\[ f:X\to Y \]

یکریختی نامیده می شود اگر ریختار

\[ g:Y\to X \]

وجود داشته باشد به طوری که

\[ g\circ f = \text{id}_X \]

و

\[ f\circ g = \text{id}_Y \]

.

در گروه ها، یک یکریختی گروهی (group isomorphism) یک همومورفیسم دوسویه است. در حلقه ها، یک یکریختی حلقه ای (ring isomorphism) جمع و ضرب را حفظ می کند. در فضاهای برداری، یک یکریختی خطی (linear isomorphism) یک نگاشت خطی دوسویه است.

اگر دو شیء با یک یکریختی به هم مربوط باشند، از نظر آن ساختار «یکسان» (isomorphic) نامیده می شوند. برای مثال، هر فضای برداری با بعد

\[ n \]

روی میدان

\[ F \]

با

\[ F^n \]

یکریخت است.

در نظریه ی رسته ها (category theory)، مفهوم یکریختی عام ترین شکل «برابری» در ریاضیات است. یکریختی ها نقش کلیدی در طبقه بندی اشیاء ریاضی دارند.

در آنالیز تابعی، یکریختی بین فضاهای باناخ (isomorphism of Banach spaces) یک نگاشت خطی دوسویه و پیوسته با معکوس پیوسته است (یعنی یک عملگر خطی با نرم کراندار).

\[ f \in \text{Hom}(X,Y) \quad,\quad \exists g: Y\to X,\; f\circ g = id_Y,\; g\circ f = id_X \]

✏️ مثال:

\[ f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 \]

با

\[ f(x,y)=(x+y, x-y) \]

یک یکریختی خطی است.

\[ f:\mathbb{Z}\to 2\mathbb{Z} \]

با

\[ f(n)=2n \]

یک یکریختی گروهی است (به عنوان گروه های جمعی).