نگاشت قطعه ای-هموار (Piecewise Smooth Map)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :
نگاشت قطعه ای-هموار (Piecewise Smooth Map) :
نگاشت قطعه ای-هموار (piecewise smooth map) نگاشتی است که دامنه ی آن را می توان به تعداد متناهی زیرمجموعه ی باز (معمولا زیرمنیفلدهای با مرز) تقسیم کرد به طوری که بر روی هر قطعه، نگاشت هموار (smooth) باشد. این مفهوم تعمیمی از توابع قطعه ای-خطی است اما به جای خطی بودن، همواری (مشتق پذیری بینهایت یا حداقل مشتق پذیری پیوسته) روی هر قطعه داریم.
این نگاشت ها در مسائل بهینه سازی، دینامیک (سیستم های هموار قطعه ای)، و نظریه ی کنترل ظاهر می شوند. برای مثال، تابع
\[ f(x)=|x| \]روی
\[ \mathbb{R} \]یک تابع قطعه ای-هموار است (روی
\[ (-\infty,0] \]و
\[ [0,\infty) \]هموار).
در هندسه، رویه های قطعه ای-هموار (مانند چندوجهی ها) ممکن است لبه ها و رأس هایی داشته باشند که در آن ها همواری نقض می شود. با این حال، درون هر وجه، تابع هموار است.
در آنالیز عددی، توابع قطعه ای-هموار برای تقریب توابع (مثلا با اسپلاین ها) به کار می روند. اسپلاین های درجه ۳، نمونه هایی از توابع قطعه ای-چندجمله ای (که هموار هم هستند) می باشند.
در نظریه ی سیستم های دینامیکی، سیستم های هموار قطعه ای (piecewise smooth dynamical systems) مانند مدارهای با برخورد (impact oscillators) یا سیستم های سوئیچ شونده مدل سازی می شوند.
\[ M = \bigcup_i M_i \quad,\quad f|_{M_i} \in C^\infty(M_i,N) \]