نگاشت پی ال (PL Map - Piecewise Linear Map)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :
نگاشت پی ال (PL Map - Piecewise Linear Map) :
نگاشت پی ال (piecewise linear) یا نگاشت خطی قطعه ای، نگاشتی است که به طور موضعی شبیه یک نگاشت خطی (affine) باشد. در توپولوژی ترکیبیاتی (combinatorial topology)، یک نگاشت بین مجتمع های سادکی (simplicial complexes) PL نامیده می شود اگر به طور خطی روی هر سادکی (simplex) عمل کند. به عبارت دیگر، این نگاشت ها با در نظر گرفتن یک زیربخش بندی مناسب از دامنه، روی هر قطعه (که یک سادکی است) یک تابع خطی (به صورت
\[ x\mapsto Ax+b \]) هستند.
نگاشت های PL مفهوم مهمی در توپولوژی قطعه ای-خطی (PL topology) هستند، که شاخه ای از توپولوژی است که بین توپولوژی عمومی و توپولوژی دیفرانسیل قرار می گیرد. بسیاری از منیفلدها را می توان با ساختارهای PL مجهز کرد.
تفاوت اصلی با نگاشت های DIFF این است که در نگاشت های PL مشتق گیری به معنای معمول وجود ندارد، اما مفهوم خطی بودن روی قطعات جایگزین آن می شود. هر نگاشت PL پیوسته است و می توان آن را با تقریب های خطی مطالعه کرد.
در هندسه محاسباتی و گرافیک کامپیوتری، نگاشت های PL برای مدل سازی سطوح و منحنی ها (مانند مش های چندضلعی) به کار می روند. همچنین در بهینه سازی، توابع هدف PL (مانند توابع هدف در برنامه ریزی خطی) اهمیت دارند.
\[ f|_{ \sigma} \text{ affine for each simplex } \sigma \]✏️ مثال: تابع قدر مطلق
\[ f(x)=|x| \]روی
\[ \mathbb{R} \]یک تابع PL است (بر روی
\[ (-\infty,0] \]خطی و بر روی
\[ [0,\infty) \]خطی). تابع
\[ f(x,y)=|x|+|y| \]PL است.
