نگاشت دی آی اف اف (DIFF Map - Differentiable Map between Manifolds)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :

نگاشت دی آی اف اف (DIFF Map - Differentiable Map between Manifolds) :

در هندسه دیفرانسیل، یک نگاشت DIFF (مخفف Differentiable) به نگاشت هموار (smooth) بین دو منیفلد هموار گفته می شود. معمولا منظور از DIFF map، نگاشتی است که بینهایت بار مشتق پذیر (

\[ C^\infty \]

) باشد، اما گاهی می تواند به معنای

\[ C^k \]

(k بار مشتق پذیر) نیز به کار رود. این نگاشت ها ابزار اصلی مطالعه ی منیفلدها هستند.

یک نگاشت

\[ f:M\to N \]

بین منیفلدهای

\[ C^\infty \]

، DIFF نامیده می شود اگر در هر دستگاه مختصات موضعی، مؤلفه های

\[ f \]

توابع

\[ C^\infty \]

باشند. این مفهوم به طور طبیعی به رسته ی منیفلدهای هموار (DIFF category) منجر می شود.

در این رسته، اشیاء منیفلدهای هموار و ریختارها (morphisms) نگاشت های هموار هستند. ایزومورفیسم ها در این رسته، دی فئومورفیسم ها (diffeomorphisms) نامیده می شوند.

نگاشت های DIFF در فیزیک نظری (نسبیت عام، نظریه ی میدان) برای مدل سازی فضا-زمان و میدان ها به کار می روند. مطالعه ی خواص موضعی و سراسری این نگاشت ها (مانند نقاط بحرانی، رتبه) موضوعی کلیدی در هندسه دیفرانسیل است.

همچنین، توابع هموار روی منیفلدها برای تعریف ساختارهای اضافی مانند متر ریمانی، فرم های دیفرانسیلی، و اتصال ها (connections) ضروری هستند.

\[ f: M \to N \quad,\quad f \in C^\infty(M,N) \]

✏️ مثال: هر تابع چندجمله ای از

\[ \mathbb{R}^n \]

به

\[ \mathbb{R}^m \]

یک نگاشت DIFF است. نگاشت

\[ f:S^2\to\mathbb{R} \]

با

\[ f(x,y,z)=z \]

یک نگاشت DIFF است.