نگاشت موضعا هموار (Local Diffeomorphism)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :
نگاشت موضعا هموار (Local Diffeomorphism) :
یک نگاشت موضعا هموار (local diffeomorphism) بین منیفلدهای هموار
\[ f:M\to N \]نگاشتی است که هر نقطه
\[ p\in M \]دارای یک همسایگی باز
\[ U \]است که
\[ f(U) \]باز در
\[ N \]بوده و
\[ f|_U:U\to f(U) \]یک دی فئومورفیسم (یعنی هموار، دوسویه با معکوس هموار) باشد. این بدان معناست که
\[ f \]موضعا معکوس پذیر هموار است.
شرط لازم و کافی برای اینکه
\[ f \]یک دی فئومورفیسم موضعی باشد این است که مشتق
\[ df_p:T_pM\to T_{f(p)}N \]در هر نقطه یکریخت (isomorphism) خطی باشد. این شرط قوی تر از غوطه وری یا زیروردی بودن است و در واقع به معنای آن است که
\[ f \]هم غوطه وری و هم زیروردی است (یعنی رتبه کامل دارد).
اگر
\[ f \]یک دی فئومورفیسم موضعی و همچنین یک به یک (injective) باشد، آن گاه یک درون ریختی باز (embedding) است و در واقع یک دی فئومورفیسم بر روی تصویرش. مثال مهم: نگاشت پوششی (covering map) بین منیفلدها یک دی فئومورفیسم موضعی است.
در آنالیز مختلط، یک تابع هولومورفیک
\[ f:\Omega\to\mathbb{C} \]با مشتق غیرصفر (
\[ f'(z)\neq 0 \]) یک دی فئومورفیسم موضعی (در واقع بی هولومورفیسم موضعی) است. قضیه ی تابع معکوس برای توابع حقیقی نیز این شرط را تضمین می کند.
دی فئومورفیسم های موضعی در مطالعه ی ساختارهای هندسی و توپولوژیکی نقش دارند و برای تعریف ساختارهای برگ بندی (foliations) نیز به کار می روند.
\[ df_p \text{ isomorphism for all } p \in M \iff f \text{ local diffeomorphism} \]✏️ مثال:
\[ f:\mathbb{R}\to S^1 \]با
\[ f(t)=e^{2\pi i t} \]یک دی فئومورفیسم موضعی است (اما سراسری یک به یک نیست).
\[ f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 \]با
\[ f(x,y)=(e^x \cos y, e^x \sin y) \]یک دی فئومورفیسم موضعی است.
