نگاشت ناهموار (Singular Map)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :
نگاشت ناهموار (Singular Map) :
نگاشت ناهموار (singular map) به نگاشتی گفته می شود که در برخی نقاط (نقاط تکین یا singular points) مشتق یا رفتار عادی خود را از دست می دهد. این مفهوم بسته به زمینه می تواند معانی مختلفی داشته باشد: در هندسه دیفرانسیل، نقطه ای که مشتق نگاشت دارای رتبه ی کامل نباشد (یعنی نه غوطه وری است و نه زیروردی) نقطه ی تکین نامیده می شود.
در نظریه ی تکینی (singularity theory)، مطالعه ی نقاطی که نگاشت های هموار رفتار غیرعادی دارند (مانند چین خوردگی ها، دمی ها، و غیره) انجام می شود. برای مثال، نگاشت
\[ f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 \]با
\[ f(x,y)=(x, xy) \]در نقاطی که
\[ x=0 \]است، تکین است (رتبه ی ژاکوبین کاهش می یابد).
در توپولوژی، نگاشت های ناهموار ممکن است در دیاگرام های مورس (Morse theory) ظاهر شوند، جایی که نقاط بحرانی (نقاطی که گرادیان صفر است) نقاط تکین تابع ارتفاع روی منیفلد هستند.
در جبر، نگاشت های ناهموار بین واریته های جبری نقاطی هستند که واریته خوش رفتار (smooth) نیست (نقاط مفرد). مطالعه ی این نقاط در هندسه جبری تکینی (singularity theory) انجام می شود.
در فیزیک، تکینگی ها در میدان های پیمانه ای و نسبیت عام (سیاهچاله ها) ظاهر می شوند.
\[ \text{نقطه ی } p \text{ تکین است اگر } \text{rank}(df_p) < \min(\dim M,\dim N) \]✏️ مثال:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \]با
\[ f(x)=x^{2/3} \]در
\[ x=0 \]مشتق ندارد (ناهموار).
\[ f(x,y)=(x^2, y) \]در
\[ x=0 \]تکین است (چون ژاکوبین رتبه ی ۱ دارد نه ۲).
