نگاشت شاخ پوش (Ramified Covering Map)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :

نگاشت شاخ پوش (Ramified Covering Map) :

نگاشت شاخ پوش (ramified covering map) تعمیمی از نگاشت پوششی (covering map) است که در آن برخی نقاط (نقاط شاخ پوش یا branch points) اجازه دارند بیش از یک برگ داشته باشند که در آنجا پوشش موضعا به صورت یک نگاشت چندبرگ شاخه دار عمل می کند. به طور دقیق، یک نگاشت

\[ f:X\to Y \]

بین رویه های ریمانی (surfaces) شاخ پوش است اگر به جز یک مجموعه ی گسسته از نقاط، یک پوشش موضعا تحلیلی باشد و در نقاط شاخ پوش، به طور موضعی به صورت

\[ z\mapsto z^k \]

برای

\[ k>1 \]

عمل کند.

در آنالیز مختلط، توابعی مانند

\[ f(z)=z^2 \]

از صفحه به خودش یک شاخ پوش با نقطه ی شاخه در

\[ z=0 \]

هستند (چون در همسایگی صفر، نگاشت دوبرگ است به جز خود صفر). در این نقاط، مشتق صفر می شود و پوشش موضعا نرمال نیست.

شاخ پوش ها در مطالعه ی رویه های ریمانی و توابع جبری اهمیت دارند. هر تابع گویا روی کره ی ریمان یک شاخ پوش از کره به کره است. برای مثال،

\[ f(z)=z^n \]

یک شاخ پوش با نقاط شاخه در

\[ 0 \]

و

\[ \infty \]

است (اگر

\[ n>1 \]

).

در هندسه جبری، مفهوم شاخ پوش به نگاشت های متناهی و تخت (finite flat maps) بین واریته های جبری گسترش می یابد که ممکن است نقاط شاخه (branch locus) داشته باشند.

در توپولوژی، شاخ پوش ها با مفهوم پوشش های شاخه دار (branched coverings) در نظریه ی گره ها و ۳-منیفلدها ظاهر می شوند. هر ۳-منیفلد بسته را می توان به عنوان یک شاخ پوش از

\[ S^3 \]

با شاخه های روی یک گره نشان داد (قضیه ی الکساندر).

\[ f(z)=z^k \quad \text{در همسایگی نقطه ی شاخه} \quad,\quad \text{شاخه پوش } f:X\to Y \]

✏️ مثال:

\[ f:\mathbb{C}\to\mathbb{C} \]

با

\[ f(z)=z^2 \]

(شاخه در ۰).

\[ f:\mathbb{C}\to\mathbb{C} \]

با

\[ f(z)=z^3-z \]

(شاخه هایی در نقاط بحرانی). تابع وایرشتراس

\[ \wp \]

یک شاخ پوش از چنبره به کره است.