نگاشت پوشش گر (Universal Covering Map)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :
نگاشت پوشش گر (Universal Covering Map) :
پوشش گر جهانی (universal cover) یک فضای پوششی همبند ساده (simply connected) از یک فضای
\[ X \]است. نگاشت پوشش گر
\[ p:\tilde{X}\to X \]یک پوشش با این خاصیت است که
\[ \tilde{X} \]همبند ساده باشد (گروه بنیادی آن بدیهی است). این پوشش، پوششی است که همه ی پوشش های دیگر از آن منشعب می شوند: هر پوشش دیگر
\[ q:Y\to X \]یک لیفت یکتا به
\[ \tilde{X} \]دارد.
برای مثال، پوشش گر جهانی
\[ S^1 \]، خط حقیقی
\[ \mathbb{R} \]است با
\[ p(t)=e^{2\pi i t} \]. پوشش گر جهانی
\[ S^2 \]خودش است (چون
\[ S^2 \]همبند ساده است). پوشش گر جهانی چنبره
\[ T^2 \]، صفحه
\[ \mathbb{R}^2 \]است.
در نظریه ی گروه ها، پوشش گر جهانی با گروه بنیادی
\[ X \]رابطه ی مستقیم دارد: گروه بنیادی
\[ \pi_1(X,x_0) \]با گروه تبدیلات پوششی (deck transformations) روی
\[ \tilde{X} \]یکریخت است.
پوشش گر جهانی در فیزیک نظری (نظریه ی میدان های کوانتومی روی فضاهای ناهمبند ساده) و همچنین در هندسه دیفرانسیل برای مطالعه ی ساختارهای هندسی کاربرد دارد.
\[ \tilde{X} \text{ به سادگی همبند} \quad,\quad \pi_1(X) \cong \text{Aut}(\tilde{X}/X) \]✏️ مثال:
\[ p:\mathbb{R}\to S^1 \]پوشش گر جهانی
\[ S^1 \]است.
\[ p:\mathbb{R}^2\to T^2 \]با
\[ (x,y)\mapsto (e^{2\pi i x}, e^{2\pi i y}) \]پوشش گر جهانی چنبره است.
