نگاشت پوششی (Covering Map)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :

نگاشت پوششی (Covering Map) :

در توپولوژی، یک نگاشت پوششی (covering map) یک نگاشت پیوسته و پوشا

\[ p:\tilde{X}\to X \]

است به طوری که هر نقطه

\[ x\in X \]

یک همسایگی باز

\[ U \]

دارد که

\[ p^{-1}(U) \]

برابر با اجتماع تعدادی مجموعه ی باز و مجزا (به نام برگ ها) است که هر کدام توسط

\[ p \]

به طور هومئومورفیک به

\[ U \]

نگاشته می شوند.

فضای

\[ \tilde{X} \]

را فضای پوششی (covering space) و

\[ X \]

را پایه (base) می نامند. تعداد برگ ها (تعداد اجزای

\[ p^{-1}(U) \]

) می تواند متناهی یا نامتناهی باشد. مثال معروف:

\[ p:\mathbb{R}\to S^1 \]

با

\[ p(t)=e^{2\pi i t} \]

یک پوشش با برگ های نامتناهی (هر نقطه روی دایره بینهایت پیش نگاشت دارد) است.

نگاشت های پوششی در توپولوژی جبری برای مطالعه ی گروه بنیادی (fundamental group) بسیار مهم هستند. فضای پوششی همبند ساده (universal cover) نقش ویژه ای دارد. قضیه ی لیفت (lifting theorem) می گوید که تحت شرایطی، نگاشت ها را می توان به فضای پوششی بالا برد.

در هندسه دیفرانسیل، رویه های ریمانی معمولا با پوشش های شاخ پوش (ramified coverings) مطالعه می شوند. نظریه ی پوشش ها همچنین در آنالیز مختلط برای توابع چندمقداره (مانند

\[ \sqrt{z} \]

) کاربرد دارد.

\[ p:\tilde{X}\to X \quad,\quad p^{-1}(U) \cong \bigsqcup_\alpha U_\alpha \]

✏️ مثال:

\[ p:\mathbb{R}\to S^1 \]

،

\[ p:S^n\to \mathbb{R}P^n \]

(پوشش دوبرگی)،

\[ p:\mathbb{C}\to \mathbb{C}^\times \]

با

\[ p(z)=e^z \]

یک پوشش است.