نگاشت زیروردی (Submersion)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :

نگاشت زیروردی (Submersion) :

در هندسه دیفرانسیل، یک زیروردی (submersion) یک نگاشت مشتق پذیر

\[ f:M\to N \]

بین منیفلدها است که مشتق آن

\[ df_p:T_pM\to T_{f(p)}N \]

در هر نقطه

\[ p \]

پوشا (surjective) باشد. این شرط تضمین می کند که

\[ f \]

موضعا شبیه یک تصویر (projection) از حاصلضرب است:

\[ f(x_1,\dots,x_m)=(x_1,\dots,x_n) \]

.

یک زیروردی لزوما پوشا (سراسری) نیست، اما موضعا پوشا است. قضیه ی تابع ضمنی برای زیروردی ها بیان می کند که برای هر

\[ q\in N \]

، مجموعه ی

\[ f^{-1}(q) \]

یک زیرمنیفلد از

\[ M \]

است (به شرطی که

\[ q \]

یک مقدار منظم (regular value) باشد).

مثال مهم: هر فایبریشن (fibration) در توپولوژی دیفرانسیل، زیروردی است. همچنین تصویر طبیعی

\[ \pi:M\times N\to M \]

یک زیروردی است. نگاشت ارتفاع

\[ f:S^2\to\mathbb{R} \]

که

\[ (x,y,z)\mapsto z \]

یک زیروردی به جز در قطب ها است (در قطب ها مشتق صفر است).

زیروردی ها برای ساختارهای برگ بندی (foliations) و نظریه ی مورس-بات استفاده می شوند.

\[ df_p: T_pM \to T_{f(p)}N \text{ surjective} \]

✏️ مثال:

\[ f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 \]

با

\[ f(x,y,z)=(x,y) \]

یک زیروردی است.

\[ f:S^2\setminus\{N,S\}\to\mathbb{R} \]

با

\[ f(x,y,z)=z \]

یک زیروردی است.