نگاشت غوطه وری (Immersion)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :

نگاشت غوطه وری (Immersion) :

در هندسه دیفرانسیل، یک غوطه وری (immersion) یک نگاشت مشتق پذیر

\[ f:M\to N \]

بین منیفلدهای هموار است که مشتق آن

\[ df_p:T_pM\to T_{f(p)}N \]

در هر نقطه

\[ p\in M \]

یک به یک (injective) باشد. این بدان معناست که

\[ f \]

موضعا یک درون ریختی (embedding) است، اما ممکن است سراسری یک به یک نباشد (می تواند خود را قطع کند).

به عبارت دیگر، یک غوطه وری به طور موضعی منیفلد

\[ M \]

را به صورت یک زیرمنیفلد در

\[ N \]

م نشاند، اما ممکن است نقاط مختلف

\[ M \]

به یک نقطه در

\[ N \]

تصویر شوند (خودتقاطعی). مثال کلاسیک: lemniscate (شکل ∞) که تصویر یک غوطه وری از دایره به صفحه است با یک نقطه ی خودتقاطعی.

در نظریه ی منیفلدها، هر منیفلد فشرده را می توان در

\[ \mathbb{R}^N \]

غوطه ور کرد (قضیه ی ویتنی). غوطه وری ها در مطالعه ی خمینه های با بعد پایین و نظریه ی مورس اهمیت دارند.

غوطه وری با درون ریختی تفاوت دارد: درون ریختی باید یک به یک و هومئومورفیسم بر روی تصویر باشد، در حالی که غوطه وری ممکن است سراسری یک به یک نباشد.

\[ f:M\to N \quad,\quad df_p \text{ injective for all } p \]

✏️ مثال:

\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2 \]

با

\[ f(t)=(\cos t, \sin 2t) \]

یک غوطه وری است که خود را قطع می کند.

\[ f:S^1\to\mathbb{R}^2 \]

با

\[ f(\theta)=(\sin 2\theta, \sin 3\theta) \]

یک منحنی لیساژو (Lissajous) است که غوطه وری است.