نگاشت بسته (در توپولوژی) (Closed Map)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :
نگاشت بسته (در توپولوژی) (Closed Map) :
نگاشت بسته (closed map) در توپولوژی نگاشتی است که تصویر هر مجموعه ی بسته را به یک مجموعه ی بسته ببرد. مانند نگاشت های باز، این خاصیت نیز مستقل از پیوستگی است. هر هومئومورفیسم بسته است. همچنین هر نگاشت پیوسته از یک فضای فشرده به یک فضای هاسدورف، بسته است.
در آنالیز تابعی، عملگرهای خطی بسته (closed operators) مفهوم متفاوتی دارند: گراف آن ها در
\[ X\times Y \]بسته است. این مفهوم برای عملگرهای ناکراندار (مانند عملگرهای دیفرانسیلی) اهمیت دارد.
نگاشت های بسته در نظریه ی فضاهای متری و فشرده سازی ها ظاهر می شوند. برای مثال، تصویر یک فضای فشرده تحت یک نگاشت پیوسته به یک فضای هاسدورف، بسته است.
در توپولوژی جبری، نگاشت های پوششی (covering maps) با برگ های متناهی معمولا بسته هستند.
\[ F \subset X \text{ بسته } \implies f(F) \subset Y \text{ بسته } \]✏️ مثال:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \]با
\[ f(x)=e^x \]بسته نیست (تصویر
\[ \mathbb{R} \]که بسته است،
\[ (0,\infty) \]است که در
\[ \mathbb{R} \]بسته نیست).
\[ f(x)=\arctan x \]بسته نیست (تصویر
\[ \mathbb{R} \]برابر
\[ (-\pi/2,\pi/2) \]است که باز است).
