نگاشت باز (در توپولوژی) (Open Map)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :

نگاشت باز (در توپولوژی) (Open Map) :

در توپولوژی، یک نگاشت

\[ f:X\to Y \]

را باز (open) می نامیم اگر تصویر هر مجموعه ی باز در

\[ X \]

، یک مجموعه ی باز در

\[ Y \]

باشد. این مفهوم مستقل از پیوستگی است؛ یک نگاشت می تواند باز باشد ولی پیوسته نباشد، و بالعکس.

مثال های مهم: هر هومئومورفیسم (homeomorphism) هم باز است و هم بسته. تصویر یک فضای متری تحت یک نگاشت پوششی (covering map) معمولا باز است. همچنین در آنالیز مختلط، هر تابع تحلیلی غیرثابت روی یک ناحیه ی همبند، یک نگاشت باز است (قضیه ی نگاشت باز).

در آنالیز تابعی، قضیه ی نگاشت باز (open mapping theorem) بیان می کند که هر عملگر خطی پیوسته و پوشا بین فضاهای باناخ، یک نگاشت باز است. این یکی از قضایای بنیادی آنالیز تابعی است.

نگاشت های باز برای خارج قسمت سازی (quotient maps) اهمیت دارند، اگرچه هر نگاشت خارج قسمتی لزوما باز نیست.

\[ U \subset X \text{ باز } \implies f(U) \subset Y \text{ باز } \]

✏️ مثال:

\[ f:\mathbb{R}\to S^1 \]

با

\[ f(t)=e^{2\pi i t} \]

باز است (چون موضعا مانند یک بازه ی باز است).

\[ f(x)=x^2 \]

از

\[ \mathbb{R} \]

به

\[ \mathbb{R} \]

باز نیست (تصویر

\[ (-1,1) \]

برابر

\[ [0,1) \]

است که باز نیست).